20 | 11 | 2017

Мультипольные моменты

Обозначая компоненту Dzz как D (ее называют обычно в этом случае просто квадрупольным моментом), получим потенциал в виде

φ(2) = (3соs2θ − 1) = P2 (соsθ),                  (41.8)

где θ — угол между R0 и осью z, а P2 — полином Лежандра.

Подобно тому как это было сделано в предыдущем параграфе для дипольного момента, легко убедиться в том, что квадрупольный момент системы не зависит от выбора начала координат, если равны нулю как полный заряд, так и дипольный момент системы.

Аналогичным образом можно было бы написать следующие члены разложения (41.1). l-й член разложения определяется тензором (так называемым тензором 2l-польного момента) l-го ранга, симметричным по всем своим индексам и обращающимся в нуль при свертывании по любой паре индексов; можно показать, что такой тензор обладает 2l+1 независимыми компонентами.

Мы напишем, однако, здесь общий член разложения потенциала в другом виде, использовав известную из теории сферических функций формулу

= = Pl (cos χ),    (41.9)

где χ — угол между R0 и r. Введем сферические углы Θ, Ф и θ, φ образуемые соответственно векторами R0 и r фиксированными осями координат, и воспользуемся известной теоремой сложения для сферических функций:

Pl (cos χ) Pl|m| (cosΘ) Pl|m| (cosθ) e−im(Ф−φ),   (41.10)

где Plm — присоединенные полиномы Лежандра. Введем также сферические функции

Ylm(θ,φ) = (−1)mil Plm (cosθ) eimφm ≥0,  Yl,-|m|(θ,φ) = (−1)l−m .   (41.11)

Тогда разложение (41.9) примет вид


Произведя такое разложение в каждом члене суммы (40.1), получим окончательно следующее выражение для l-го члена разложения потенциала:

φ(l) =  (Θ,Ф),            (41.12)

где

= earalYlm(θa,φa).                   (41.1З)

Совокупность 2l+1 величин  составляет 2l-польный момент системы зарядов.

Определенные таким образом величины  связаны с компонентами вектора дипольного момента d формулами

= idz,   = ± (dx ± idy).                     (41.14)

Величины же  связаны с компонентами тензора Dαß соотношениями

 = − Dzz,   = ± (Dxz ± iDyz),   = − (Dxx − Dyy ± 2iDxy).  (41.15)