24 | 09 | 2017

Мультипольные моменты

В разложении потенциала по степеням 1/R0

φ = φ(0) + φ(1)φ(2) + ...                            (41.1)

член φ(n) пропорционален 1/. Мы видели, что первый член φ(0), определяется суммой всех зарядов; второй φ(1), называемый дипольным потенциалом системы, определяется ее дипольным моментом. Третий член разложения равен

φ(2)exαxβ ,                       (41.2)

где сумма берется по всем зарядам; индекс, указывающий номер заряда, мы здесь опустили; xα — компоненты вектора r, а Xαвектора R0. Эта часть потенциала обычно называется квадрупольным потенциалом. Если сумма зарядов и дипольный момент системы равны нулю, то разложение начинается с φ(2).

В выражение (41.2) входят шесть величин exαxβ. Легко, однако, видеть, что в действительности поле зависит не от шести независимых величин, а только от пяти. Это следует из того, что функция 1/R0 удовлетворяет уравнению Лапласа:

Δ ≡ δαβ = 0.

Мы можем поэтому написать φ(2) в виде

φ(2) = e xαxβ r2δαβ .

Тензор

D = e 3xαxβr2δαβ                                (41.3)

называется квадрупольныль моментом системы. Из определения D следует, что сумма его диагональных компонент равна нулю:

Daa = 0.                                                            (41.4)

 

Симметричный тензор D имеет поэтому всего пять независимых компонент. С его помощью можно написать:

φ(2)                                       (41.5)

или, произведя дифференцирование

 − 

и учитывая, что δαβD=Daa=0,

φ(2).                                             (41.6)

Как и всякий симметричный трехмерный тензор, тензор D может быть приведен к главным осям. При этом в силу условия (41.4) в общем случае лишь два из трех главных значений независимы. Если же система зарядов симметрична относительно некоторой оси (ось z), то она же является одной из главных осей тензора D, положение двух других осей в плоскости xy произвольно, и все три главных значения связаны между собой:

DxxDyy = − Dzz.    (41.7)