Дипольный момент
 

Дипольный момент

Рассмотрим поле, создаваемое системой зарядов на расстояниях, больших по сравнению с размерами системы.

Введем систему координат с началом где-нибудь внутри системы зарядов. Радиус-векторы отдельных зарядов пусть будут ra. Потенциал поля, создаваемого всеми зарядами в точке c радиус-вектором R0, равен

φ                                   (40.1)

(суммирование производится по всем зарядам); здесь R0ra радиус-векторы от зарядов ea к точке, где мы ищем потенциал.

Мы должны исследовать это выражение для больших R0 (R0ra). Для этого разложим его в ряд по степеням ra/R0, воспользовавшись формулой

f(R0 r) ≈ f(R0) − r grad f(R0)

(в grad дифференцирование производится по координатам конца вектора R0). С точностью до членов первого порядка имеем

φ =  − eara grad .                       (40.2)

Сумма

deara                                            (40.3)

носит название дипольного момента системы зарядов. Существенно, что если сумма ea всех зарядов равна нулю, то дипольный момент не зависит от выбора начала координат. Действительно, радиус-векторы ra и r'a одного и того же заряда в двух разных системах координат связаны друг с другом соотношением

r'a = ra + a,

где a —некоторый постоянный вектор. Поэтому если ea=0, то дипольный момент в обеих системах одинаков:

d' = ear'a = eara + a ea = d.

Если обозначить посредством  и − положительные и отрицательные заряды системы и их радиус-векторы, то можно написать дипольный момент в виде

d = −  = R+  − R ,      (40.4)

где

R+R                               (40.5)

— радиус-векторы «центров зарядов» положительных и отрицательных. Если ==e, то

d = eR+−,                                                       (40.6)