24 | 09 | 2017

Движение в кулоновом поле

Рассмотрим движение частицы с массой m и зарядом e в поле, создаваемом другим зарядом e'; мы предполагаем, что масса последнего настолько велика, что его можно считать неподвижным. Тогда задача сводится к исследованию движения заряда e в центрально-симметричном электрическом поле с потенциалом φ=e'/r.

Полная энергия частицы равна

= c + ,

где α=ee'. Если пользоваться полярными координатами в плоскости движения частицы, то, как известно из механики,

p2 = + ,

где pr — радиальная компонента импульса, а M — постоянный момент импульса частицы. Тогда

= c + .            (39.1)

Выясним вопрос о том, может ли частица при своем движении приближаться сколь угодно близко к центру. Прежде всего очевидно, что это во всяком случае невозможно, если заряды e и e' отталкиваются, т. е. e и e' — одного знака. Далее, в случае притяжения (e и e' имеют различные знаки) неограниченное приближение к центру невозможно, если Mc>|α|; действительно, в этом случае первый член в (39.1) всегда больше второго, и при r→0 правая часть этого равенства стремилась бы к бесконечности. Напротив, если Mc<|α|, то при r→0 это выражение может оставаться конечным (при этом, разумеется, pr стремится к бесконечности). Таким образом, если

Mc<|α|,                                          (39.2)

то частица при своем движении «падает» на притягивающий ее заряд, — в противоположность тому, что в нерелятивистской механике в кулоновом поле такое падение вообще невозможно (за исключением только случая M=0, когда частица e летит прямо на частицу e').

Полное определение движения заряда в кулоновом поле удобнее всего производить, исходя из уравнения Гамильтона-Якоби. Выберем полярные координаты rφ в плоскости движения. Уравнение Гамильтона-Якоби (16.11) имеет вид

+ + + m2c2 = 0

Ищем S в виде

S = − t + + f(r),

где  и M — постоянные энергия и момент импульса движущейся частицы. В результате находим

S− t + +  dr.      (39.3)