24 | 09 | 2017

Электростатическая энергия зарядов

Определим энергию системы зарядов. При этом будем исходить из представления об энергии поля, т. е. из выражения (31.5) для плотности энергии. Именно, энергия системы зарядов должна быть равна

U E2dV,

где E есть поле, создаваемое этими зарядами, а интеграл берется по всему пространству. Подставляя сюда E=−gradφ, можно преобразовать U следующим образом:

U = −  E gradφ dV div(Eφ) dV +  φ div E dV.

Первый из этих интегралов, согласно теореме Гаусса, равен интегралу от Eφ по поверхности, ограничивающей объем интегрирования; но поскольку интегрирование производится по всему пространству, а на бесконечности поле равно нулю, то этот интеграл исчезает. Подставляя во второй интеграл divE=4πρ, находим следующее выражение для энергии системы зарядов:

U = ρφ dV.                                        (37.1)

Для системы точечных зарядов ea можно вместо интеграла написать сумму по зарядам:

U = eaφa,                                           (37.2)

где φa — потенциал поля, создаваемого всеми зарядами в точке, где находится заряд ea.

Если применить полученную формулу к одной элементарной заряженной частице (скажем, электрону) и полю, производимому им самим, мы придем к выводу, что частица должна обладать «собственной» потенциальной энергией, равной /2, где φ — потенциал производимого зарядом поля в месте, где он сам находится. Но мы знаем, что в теории относительности всякую элементарную частицу надо рассматривать как точечную. Потенциал же φ=e/R ее поля в точке R=0 обращается в бесконечность. Таким образом, согласно электродинамике электрон должен был бы обладать бесконечной «собственной» энергией, а следовательно, и бесконечной массой. Физическая бессмысленность этого результата показывает, что уже основные принципы самой электродинамики приводят к тому, что ее применимость должна быть ограничена определенными пределами.

Заметим, что ввиду бесконечности получающихся из электродинамики «собственной» энергии и массы в рамках самой классической электродинамики нельзя поставить вопрос о том, является ли вся масса электрона электромагнитной (т. е. связанной с электромагнитной собственной энергией частицы).