Теорема Лармора
 

Теорема Лармора

Рассмотрим систему зарядов, находящуюся во внешнем постоянном однородном магнитном поле.

Средняя (по времени) сила, действующая на систему,

= ,

обращается в нуль как среднее значение производной по времени от всякой величины, меняющейся в конечных пределах. Среднее же значение момента сил

= 

отлично от нуля. Его можно выразить через магнитный момент системы, для чего пишем, раскрывая двойное векторное произведение:

K   {v(rH) − H(vr)} =   {v(rH) − H r2}.

При усреднении второй член обращается в нуль, так что

=    = e{}

(последнее преобразование аналогично произведенному при выводе (44.3)), или окончательно

= [H].                           (45.1)

Обратим внимание на аналогию с формулой (42.6) электрического случая.

Функция Лагранжа системы зарядов во внешнем постоянном однородном магнитном поле содержит дополнительный (по отношению к функции Лагранжа замкнутой системы) член

LH Av  [Hr]v  [rv]H                        (45.2)

(мы воспользовались выражением (19.4) для векторного потенциала однородного поля). Вводя магнитный момент системы, имеем

LH = mH.                            (45.3)

Обратим внимание на аналогию с электрическим полем: в однородном электрическом поле функция Лагранжа системы с равным нулю полным зарядом и дипольным моментом содержит член

LE = dE,

являющийся в этом случае потенциальной энергией системы зарядов, взятой с обратным знаком.

Рассмотрим систему зарядов, совершающих финитное движение (со скоростями vc) в центрально-симметричном электрическом поле, создаваемом некоторой неподвижной частицей.

Перейдем от неподвижной системы координат к системе, равномерно вращающейся вокруг оси, проходящей через неподвижную частицу. Согласно известной формуле скорость v частицы в новой системе координат связана с ее же скоростью v' в старой системе соотношением

v' = v + [Ωr],

где r — радиус-вектор частицы, Ω — угловая скорость вращающейся системы координат. В неподвижной системе функция Лагранжа системы зарядов есть

L =  U,

где U — потенциальная энергия зарядов во внешнем электрическом поле вместе с энергией их взаимодействия друг с другом. U является функцией от расстояний зарядов до неподвижной частицы и от их взаимных расстояний; при переходе к вращающейся системе координат она остается, очевидно, неизменной. Поэтому в новой системе функция Лагранжа будет

L =  (v + [Ωr])2U.