21 | 09 | 2019

Функция Лагранжа с точностью до членов второго порядка

В обычной классической механике систему взаимодействующих друг с другом частиц можно описывать с помощью функции Лагранжа, зависящей только от координат и скоростей этих частиц (в один и тот же момент времени). Возможность этого в конечном итоге обусловлена тем, что в механике скорость распространения взаимодействий предполагается бесконечной.

Мы уже знаем, что благодаря конечной скорости распространения взаимодействий поле надо рассматривать как самостоятельную систему с собственными «степенями свободы». Поэтому если мы имеем систему взаимодействующих частиц (зарядов), то для ее описания мы должны рассматривать систему, состоящую из этих частиц и поля. В связи с этим при учете конечной скорости распространения взаимодействий невозможно строгое описание системы взаимодействующих частиц с помощью функции Лагранжа, зависящей только от координат и скоростей частиц и не содержащей никаких величин, связанных с собственными «степенями свободы» поля.

Однако если скорости υ всех частиц малы по сравнению со скоростью света, то систему зарядов можно описывать некоторой приближенной функцией Лагранжа. При этом оказывается возможным ввести функцию Лагранжа, описывающую систему не только при пренебрежении всеми степенями υ/c (классическая функция Лагранжа), но и с точностью до величин порядка υ2/c2. Последнее обстоятельство связано с тем, что излучение электромагнитных волн движущимися зарядами (и, тем самым, возникновение «самостоятельного» поля) появляется лишь в третьем приближении по υ/c.

Предварительно заметим, что в нулевом приближении, т.е. при полном пренебрежении запаздыванием потенциалов, функция Лагранжа для системы зарядов имеет вид

L(0) −                       (65.1)

(суммирование производится по зарядам, входящим в состав системы). Второй член есть потенциальная энергия взаимодействия, какой она была бы для неподвижных зарядов.

Для получения следующего приближения поступим следующим образом. Функция Лагранжа для заряда ea, находящегося во внешнем поле, есть

La = −mac2 eaφAva.        (65.2)

Выбрав какой-либо один из зарядов системы, мы определим потенциалы поля, создаваемого всеми остальными зарядами в точке, где находится первый, и выразим их через координаты и скорости зарядов, создающих это поле (как раз это можно сделать только приближенно: (φ — с точностью до членов порядка υ2/c2, а А —до членов порядка υ/c). Подставляя полученные таким образом выражения для потенциалов в (65.2), мы получим функцию Лагранжа для одного из зарядов системы (при данном движении остальных). Отсюда уже без труда можно найти L для всей системы.