20 | 11 | 2017

Спектральное разложение запаздывающих потенциалов

Поле, создаваемое движущимися зарядами, можно разложить на монохроматические волны. Потенциалы отдельной монохроматической компоненты поля имеют вид φωeiωt, Aωeiωt. Плотности заряда и тока создающей поле системы тоже можно подвергнуть спектральному разложению. Ясно, что за создание определенной монохроматической компоненты поля ответственны соответствующие компоненты ОТ р И.

Для того чтобы выразить спектральные компоненты поля через компоненты плотностей заряда и тока, подставляем в (62.9) вместо φ и ρ соответственно φωeiωt и ρωeiωt. Мы находим тогда:

φωeiωt = ρω dV.

Сокращая на eiωt и вводя абсолютную величину волнового вектора k=ω/c, имеем

φω = ρω  dV.                                (64.1)

Аналогично, для Aω получим

Aω = jω  dV.                                (64.2)

Заметим, что формула (64.1) представляет собой обобщение решения уравнения Пуассона на более общее уравнение вида

Δφω + k2φω = −4πρω                            (64.3)

(получающееся из уравнения (62.4) при ρ, φ, зависящих от времени посредством множителя eiωt).

При разложении в интеграл Фурье компонента Фурье плотности заряда есть

ρω = ρeiωtdt.

Подставляя это выражение в (64.1), получим

φω ei(ωt+kR)dV dt.                 (64.4)

Здесь надо еще перейти от непрерывного распределения плотности зарядов к точечным зарядам, о движении которых фактически идет речь. Так, если имеется всего один точечный заряд, то полагаем

ρ = [r − r0(t)],

где r0(t) — радиус-вектор заряда, являющийся заданной функцией времени. Подставляя это выражение в (64.4) и производя интегрирование по dV (сводящееся к замене r на r0(t)), получим

φω = e e[t+R(t)/c]dt,               (64.5)

где теперь R(t) — расстояние от движущейся частицы до точки наблюдения. Аналогичным образом, для векторного потенциала получим

Aω = e[t+R(t)/c]dt,                      (64.6)

где v=r'0(t)— скорость частицы.

Формулы, аналогичные (64.5), (64.6), могут быть написаны и в случае, когда спектральное разложение плотностей заряда и тока содержит дискретный ряд частот. Так, при периодическом (с периодом Т=2π/ω0) движении точечного заряда спектральное разложение поля содержит лишь частоты вида 0 и соответствующие компоненты векторного потенциала

An einω0[t+R(t)/c]dt                    (64.7)

(и аналогично для φn). В обоих случаях (64.6), (64.7) компоненты Фурье определены.