18 | 11 | 2017

Потенциалы Лиенара-Вихерга

Для вычисления напряженностей электрического и магнитного полей по формулам

Е = − − grad φH = rot А

надо дифференцировать φ и А по координатам x, yz точки и моменту t наблюдения. Между тем формулы (63.5) выражают потенциалы как функции от t' и лишь через соотношение (63.1) — как неявные функции от х, у, z, t. Поэтому для вычисления искомых производных надо предварительно вычислить производные от t'. Дифференцируя соотношение R(t')=c(tt') по t, имеем

= = − = с 1 −

(значение ∂R/∂t' получается дифференцированием тождества R2=R2 и подстановкой R(t')/t=−v(t'); знак минус здесь связан с тем, что R есть радиус-вектор от заряда е в точку Р, а не наоборот). Отсюда

= .                          (63.6)

Аналогично, дифференцируя то же соотношение по координатам, найдем

grad t' grad R(t') =  grad t' + ,

откуда

grad t' .                   (63.7)

С помощью этих формул не представляет труда вычислить поля Е и Н. Опуская промежуточные вычисления, приведем получающийся результат:

E R −  R RR −  R ,  (63.8)

Н = [].                                          (63.9)

Здесь =∂v/∂t' все величины в правых частях равенств берутся в момент Интересно отметить, что магнитное поле оказывается везде перпендикулярным к электрическому.

Электрическое поле (63.8) состоит из двух частей различного характера. Первый член зависит только от скорости частицы (но не от ее ускорения) и на больших расстояниях меняется как 1/R2. Второй член зависит от ускорения, а при больших R меняется как 1/R. Мы увидим ниже, что этот последний член связан с излучаемыми частицей электромагнитными волнами.

Что касается первого члена, то, будучи независимым от ускорения, он должен соответствовать полю, создаваемому равномерно движущимся зарядом. Действительно, при постоянной скорости разность

Rt' −  Rt' = Rt'v(tt')

есть расстояние Rt от заряда до точки наблюдения в самый момент наблюдения. Легко также убедиться непосредственной проверкой в том, что

Rt' −  Rt' v = Rt ,

где θt — угол между Rt и v. В результате первый член в (63.8) оказывается совпадающим с выражением (38.8).