18 | 11 | 2017

Потенциалы Лиенара-Вихерга

Определим потенциалы поля, создаваемого одним точечным зарядом, совершающим заданное движение по траектории r=r0(t).

Согласно формулам запаздывающих потенциалов поле в точке наблюдения Р(х, у, z) в момент времени t определяется состоянием движения заряда в предшествующий момент времени t', для которого время распространения светового сигнала из точки нахождения заряда r0(t') в точку наблюдения Р как раз совпадает с разностью t−t'. Пусть R(t)=rr0(t) — радиус-вектор от заряда e в точку Р; вместе с r0(t) он является заданной функцией времени. Тогда момент t' определяется уравнением

t' + =                               (63.1)

Для каждого значения t это уравнение имеет всего один корень t'.

В системе отсчета, в которой в момент времени t' частица покоится, поле в точке наблюдения в момент t дается просто кулоновским потенциалом, т. е.

φА = 0.                        (63.2)

Выражения для потенциалов в произвольной системе отсчета мы получим теперь, написав такой 4-вектор, который бы при скорости v=0 давал для φ и А значения (63.2). Замечая, что согласно (63.1) φ из (63.2) можно написать также и в виде

φ =

находим, что искомый 4-вектор есть

Аi =e ,                        (63.3)

где uk — 4-скорость заряда, а 4-вектор Rk = [с(t−t'),г−г'], причем x', y', z', t' связаны друг с другом соотношением (63.1); последнее может быть записано в инвариантном виде как

RkRk = 0.    (63.4)

Переходя теперь снова к трехмерным обозначениям, получим для потенциалов поля, создаваемого произвольно движущимся точечным зарядом, следующие выражения:

φ,  A,       (63.5)

где R — радиус-вектор, проведенный из точки нахождения заряда в точку наблюдения Р, и все величины в правые частях равенств должны быть взяты в момент времени t', определяющийся из (63.1). Потенциалы поля в виде (63.5) называются потенциалами Лиепара-Вихерта.