18 | 11 | 2017

Запаздывающие потенциалы

Отсюда легко перейти к решению уравнения (62.4) для произвольного распределения зарядов ρ(x,y,z,t).    Для этого достаточно написать de=ρdV (dV — элемент объема) и проинтегрировать по всему пространству. К полученному таким образом решению неоднородного уравнения (62.4) можно прибавить еще решение φ0 этого же уравнения без правой части. Таким образом, общее решение имеет вид

φ(r,t) =  ρr', t − dV'φ0,        (62.8)

R = r − r'dV' = dx'dy'dz',

где r=(х,у,z), r'=(х',у',z')R есть расстояние от элемента объема dV' до «точки наблюдения», в которой мы ищем значение потенциала. Мы будем писать это выражение коротко в виде

φ =   dVφ0,                          (62.9)

где индекс показывает, что значение ρ надо брать в момент времени tR/с, а штрих у dV опущен.

Аналогичным образом имеем для векторного потенциала:

А   dV + А0,                       (62.10)

где А0 — решение уравнения (62.3) без правой части.

Выражения (62.9), (62.10) (без φ0 и А0) называются запаздывающими потенциалами.

В случае неподвижных зарядов (т.е. не зависящей от времени плотности ρ) формула (62.9) переходит в известную уже нам формулу (36.8) для потенциала электростатического поля; формула же (62.10) в случае стационарного движения зарядов переходит (после усреднения) в формулу (43.5) для векторного потенциала постоянного магнитного поля.

Величины φ0 и А0 в (62.9), (62.10) определяются так, чтобы удовлетворить условиям задачи. Для этого, очевидно, было бы достаточно задать начальные условия, т.е. поле в начальный момент времени. Однако с такими начальными условиями обычно не приходится иметь дела. Вместо этого задаются условия на больших расстояниях от системы зарядов в течение всего времени. Именно, задается падающее на систему внешнее излучение. Соответственно этому поле, возникающее в результате взаимодействия этого излучения с системой, может отличаться от внешнего поля только излучением, исходящим от системы. Такое исходящее от системы излучение на больших расстояниях должно иметь вид волны, распространяющейся по направлению от системы, т. е. в направлении возрастающих R. Но этому условию удовлетворяют именно запаздывающие потенциалы. Таким образом, последние представляют собой поле, исходящее от системы, а φ0 и А0 надо отождествить с внешним полем, действующим на систему.