24 | 09 | 2017

Запаздывающие потенциалы

Заряд в заданном элементе объема является, вообще говоря, функцией от времени. Если выбрать начало координат в рассматриваемом элементе объема, то плотность заряда ρ=de(t)δ(R), где R — расстояние от начала координат. Таким образом, нам надо решить уравнение

Δ φ − = −4π de(t)δ(R).                    (62.5)

Везде, кроме начала координат, δ(R)=0, и мы имеем уравнение

Δ φ − = 0.                                       (62.6)

Очевидно, что в рассматриваемом случае φ обладает центральной симметрией, т.е. есть функция только от R. Поэтому, если написать оператор Лапласа в сферических координатах, то (62.6) приобретет вид

  R2 = 0.

Для решения этого уравнения сделаем подстановку φ=χ(R,t)/R. Тогда для χ мы получим

   = 0.

Но это есть уравнение плоских волн, решение которого имеет вид

 

χ = f1 t − + f2 t + .

Поскольку мы ищем только частный интеграл уравнения, то достаточно взять только одну из функций f1 и f2. Обычно бывает удобным выбирать f2=0 (см. об этом ниже). Тогда потенциал φ везде, кроме начала координат, имеет вид

φ                (62.7)

Функция χ в этом равенстве пока произвольна; выберем ее теперь так, чтобы получить верное значение для потенциала также и в начале координат. Иначе говоря, мы должны подобрать χ так, чтобы в начале координат удовлетворялось уравнение (62.5). Это легко сделать, заметив, что при R→0 сам потенциал стремится к бесконечности, а потому его производные по координатам растут быстрее, чем производные по времени. Следовательно, R→0 в уравнении (62.5) можно пренебречь членом  по сравнению с Δφ. Тогда оно переходит в известное уже нам уравнение (36.9), приводящее к закону Кулона. Таким образом, вблизи начала координат формула (62.7) должна переходить в закон Кулона, откуда следует, что χ(t)=de(t), т.е.

φ = .