24 | 09 | 2017

Запаздывающие потенциалы

Ранее мы изучали постоянное поле, создаваемое покоящимися зарядами, а также — переменное поле, но в отсутствие зарядов. Теперь мы займемся изучением переменных полей при наличии произвольно движущихся зарядов.

Выведем уравнения, определяющие потенциалы поля, создаваемого движущимися зарядами. Это удобно сделать в четырехмерном виде, повторив произведенный ранее вывод с той лишь разницей, что надо использовать уравнения Максвелла (30.2)

 = −  ji

с отличной от нуля правой частью. Такая же правая часть появится и в уравнении (46.8), и после наложения на потенциалы условия Лоренца

= 0, т.е.   +div A = 0,              (62.1)

получим

=  ji.                                   (62.2)

Это и есть уравнение, определяющее потенциалы произвольного электромагнитного поля. В трехмерном виде оно записывается в виде двух уравнений — для А и для φ:

ΔA −   = −  j,                       (62.3)

Δ φ − = −4πρ.                         (62.4)

Для постоянного поля они сводятся к уже известным нам уравнениям (36.4) и (43.4), а для переменного поля без зарядов —к однородным волновым уравнениям.

Решение неоднородных линейных уравнений (62.3), (62.4) может быть представлено, как известно, в виде суммы решения этих же уравнений без правой части и частного интеграла уравнений с правой частью. Для нахождения этого частного интеграла разделим все пространство на бесконечно малые участки и определим поле, создаваемое зарядом, находящимся в одном из таких элементов объема. Вследствие линейности уравнений истинное поле будет равно сумме полей, создаваемых всеми такими элементами.