18 | 11 | 2017

Резонанс в нелинейных колебаниях

На рис. 33 изображена получающаяся отсюда зависимость b от ε (для >0; при <0 кривые направлены в обратную сторону). Точки B и C отвечают значениям

ε = ±.

Рис. 33

Слева от точки B возможно лишь значение b=0, т.е. резонанс отсутствует и колебания с частотой порядка ω0 не возбуждаются. В интервале между В и С имеем два корня: b=0 (отрезок ВС на рис. 33) и выражение (29.13) (ветвь ВЕ). Наконец, справа от точки С существуют все три корня (29.12)...(29.14). Однако не все эти значения отвечают устойчивому колебательному режиму. Значение b=0 неустойчиво на участке ВС ), и можно показать также, что всегда неустойчив режим, соответствующий корню (29.14) (промежуточному между двумя другими). На рис. 33 неустойчивые значения Ь изображены штриховой линией.

Проследим, например, за поведением первоначально «покоившейся») системы при постепенном уменьшении частоты внешней силы. До достижения точки С остается b=0, а затем происходит «срыв» этого состояния с переходом на ветвь EB. При дальнейшем уменьшении ε амплитуда колебаний уменьшается до нуля в точке В. При обратном же увеличении частоты амплитуда колебаний растет вдоль кривой BE).

Рассмотренные случаи резонансов являются основными из возникающих в нелинейной колебательной системе. В более высоких приближениях появляются резонансы и на других частотах. Строго говоря, резонанс должен возникать на всякой частоте , для которой n+mω00 (n, m — целые числа), т.е. при всяком =pω0/q, где p, q — снова целые числа. Однако с увеличением степени приближения интенсивность резонансных явлений (а также ширины областей частот, в которых они должны иметь место) столь быстро убывает, что реально могут наблюдаться лишь резонансы на частотах pω0/q с небольшими значениями p и q.