18 | 11 | 2017

Резонанс в нелинейных колебаниях

Пусть теперь частота внешней силы

= 2ω0 + ε.

В первом приближении имеем

x(1) = −  cos(2ω0 + ε) t.

При подстановке x=x(1)+x(2) в уравнение (29.1) мы не получим членов, имеющих характер резонансной внешней силы, как это было в предыдущем случае. Возникает, однако, резонанс параметрического типа от члена третьего порядка, пропорционального произведению x(1)x(2). Если из всех нелинейных членов сохранить лишь этот, то для x(2) получим уравнение

(2) + 2λ(2)x(2) = −2x(1)x(2)

или

(2) + 2λ(2)[1 − cos (2ω0 + ε) t] x(2) = 0,           (29.10)

т.е. уравнение типа (27.8) (с учетом трения), приводящее, как мы уже знаем, к неустойчивости колебаний в определенном интервале частот.

Однако для определения результирующей амплитуды колебаний это уравнение недостаточно. Установление конечной амплитуды связано с эффектами нелинейности, для учета которых в уравнении движения должны быть сохранены также нелинейные по x(2) члены:

(2) + 2λ(2)x(2)x(2)2 + βx(2)3 =  cos [(2ω0 + ε) t] x(2). (29.11)

Исследование этой задачи можно очень упростить, отметив следующее обстоятельство. Положив в правой части уравнения (29.11)

x(2) = cos [(2ω0 + ) t + δ]

(где Ь — искомая амплитуда резонансных колебаний, δ — несущественный для дальнейшего постоянный сдвиг фазы) и представив произведение двух периодических множителей в виде суммы двух косинусов, получим здесь член

cos [(ω0 + ) t + δ]

обычного резонансного (по отношению к собственной частоте системы ωo) характера. Поэтому задача снова сводится к рассмотренной в начале параграфа задаче об обычном резонансе в нелинейной системе с тем лишь отличием, что роль амплитуды внешней силы играет теперь величина ƒb/(З) (а вместо ε стоит ε/2). Произведя эту замену в уравнении (29.4), получим

b2 [( b2)22] =  .

Решая это уравнение относительно Ь, найдем следующие возможные значения амплитуды:

b = 0,                                                              (29.12)

b2 = ,                        (29.13)

b2 =  − .                         (29.14)