20 | 11 | 2017

Резонанс в нелинейных колебаниях

Границы этой области определяются условием db/dε= в точках D и C. Продифференцировав уравнение (29.4) по ε, получим

= .

Поэтому положение точек D и C определяется совместным решением уравнений

ε2 − 4Ь2ε + З2Ь4 + λ2 = 0                                           (29.5)

и (29.4); соответствующие значения ε оба положительны. Наибольшее значение амплитуды достигается в точке, где db/dε=0. При этом ε=b2, и из (29.4) имеем

bmax ;                                                        (29.6)

это значение совпадает с максимумом, даваемым зависимостью (29.2).

Можно показать (на чем мы не будем здесь останавливаться), что из трех вещественных корней уравнения (29.4) средний (т.е. участок CD кривой, изображенный на рис. 32в штриховой линией) соответствует неустойчивым колебаниям системы: любое сколь угодно слабое воздействие на систему, находящуюся в таком состоянии, привело бы к переходу к колебательному режиму, отвечающему большему или меньшему корню (т.е. участкам BC или DE).

Таким образом, реальным колебаниям системы соответствуют лишь ветви ABC и DEF. Замечательной особенностью является при этом наличие области частот, допускающих две различные амплитуды колебаний. Так, при постепенном увеличении частоты внешней силы амплитуда вынужденных колебаний будет возрастать, следуя кривой ABC. В точке С произойдет «срыв» амплитуды, которая скачком упадет до значения, отвечающего точке Е, и затем (при дальнейшем увеличении частоты) будет меняться вдоль кривой EF. Если теперь вновь уменьшать частоту, то амплитуда вынужденных колебаний будет меняться вдоль кривой FD, в точке D скачком возрастает до B и затем будет уменьшаться вдоль BA.

Для вычисления значения ƒk замечаем, что это есть то значение ƒ, при котором оба корня квадратного (по b2) уравнения (29.5) совпадают; при ƒ=ƒk весь участок CD сводится к одной точке перегиба. Приравняв нулю дискриминант квадратного уравнения (29.5), получим ε2=3λ2; соответствующий корень уравнения: b2=2ε/3. Подставляя эти значения Ь и ε в (29.4), найдем

 = .                                            (29.7)

Наряду с изменением характера резонансных явлений при частотах ≈ω0 нелинейность колебаний приводит также к появлению новых резонансов, в которых колебания с частотой, близкой к ω0, возбуждаются внешней силой с частотой, существенно отличающейся от ω0.

Пусть частота внешней силы ≈ω0/2, т.е.

= ω0/2 + ε.

В первом, линейном, приближении она возбуждает в системе колебания с той же частотой и амплитудой, пропорциональной амплитуде силы

x(1) cos  t

(согласно формуле (22.4)). Но при учете нелинейных членов, во втором приближении, эти колебания приведут к появлению в правой части уравнения движения (29.1) члена с частотой 2≈ω0. Именно, подставив x(1) в уравнение

(2) + 2λ(2)x(2)x(2)2 + βx(2)3 = −x(1)2,

введя косинус удвоенного угла и сохраняя в правой части лишь резонансный член, получим

(2) + 2λ(2)x(2)x(2)2 + βx(2)3 = − cos (ω0 + 2ε) t.   (29.8)

Это уравнение отличается от уравнения (29.1) лишь тем, что вместо амплитуды силы ƒ в нем стоит выражение, пропорциональное квадрату ƒ2. Это значит, что возникает резонанс такого же характера, как и рассмотренный выше резонанс на частотах ≈ω0, но с меньшей интенсивностью. Зависимость Ь(ε) получается заменой ƒ на −8ƒ2/(9m) (и ε на 2ε) в уравнении (29.4):

b2 [(2ε − b2)2 + λ2] =  .                      (29.9)