24 | 09 | 2017

Резонанс в нелинейных колебаниях

Учет ангармонических членов при вынужденных колебаниях системы приводит к появлению существенно новых особенностей в резонансных явлениях.

Добавив в правой части уравнения (28.9) внешнюю периодическую (с частотой ) силу, получим

+ 2λx cos tx2 − βx3;                           (29.1)

здесь написана также сила трения с показателем затухания (предполагаемым ниже малым). Строго говоря, при учете нелинейных членов в уравнении свободных колебаний должны учитываться также члены высших порядков в амплитуде вынуждающей силы, соответствующие возможной зависимости ее от смещения x. Мы не пишем этих членов лишь с целью упрощения формул; они не меняют качественной картины явлений.

Пусть

= ωo + ε

(с малым ε), т.е. мы находимся вблизи обычного резонанса. Для выяснения характера возникающего движения можно обойтись без непосредственного исследования уравнения (29.1), если воспользоваться следующими соображениями.

В линейном приближении зависимость амплитуды b вынужденного колебания от амплитуды ƒ и частоты у внешней силы дается вблизи резонанса формулой (26.7), которую напишем в виде

b22 + λ2) =  .                                      (29.2)

Нелинейность колебаний приводит к появлению зависимости их собственной частоты от амплитуды; напишем ее в виде

ω0 + b2,                                                            (29.3)

где постоянная  выражается определенным образом через коэффициент ангармоничности (см. (28.13)). Соответственно этому заменяем в формуле (29.2) (точнее в малой разности −ω0) ω0 на ω0+b2.

Сохранив обозначение ε=−ω0, получим в результате уравнение

b2 [(ε − b2)2 + λ2] =                               (29.4)

или

ε = b2 ± .

Уравнение (29.4), кубическое по отношению к b2, и его вещественные корни определяют амплитуду вынужденных колебаний. Рассмотрим зависимость этой амплитуды от частоты внешней силы при заданной амплитуде силы ƒ.

При достаточно малых значениях ƒ амплитуда b тоже мала, так что можно пренебречь в (29.4) степенями b выше второй, и мы возвращаемся к зависимости Ь(ε) (см. (29.2)), изображающейся симметричной кривой с максимумом в точке ε=0 (рис. 32 а). По мере увеличения ƒ кривая деформируется, сохраняя сначала свой характер — с одним максимумом (рис. 32б); последний смещается (при >0) в сторону положительных ε. Из трех корней уравнения (29.4) при этом веществен лишь один.

Рис. 32

Однако, начиная с определенного значения ƒ=ƒk (которое мы определим ниже), характер кривой меняется. При каждом значении ƒ>ƒk существует определенная область частот, в которой уравнение (29.4) имеет три вещественных корня; ей отвечает участок BCDE кривой на рис. 32в.