20 | 11 | 2017

Ангармонические колебания

Мы будем искать его решение в виде ряда последовательных приближений

x = x(1)x(2) + x(3),

причем

x(1) = α cos ωt                                            (28.10)

с точным значением ω, которое само будем затем искать в виде ряда ω=ω0(1)(2)+... (начальную фазу в x(1) можно всегда обратить в нуль надлежащим выбором начала отсчета времени). При этом, однако, уравнение движения в виде (28.9) не вполне удобно, так как при подстановке в него (28.10) левая часть равенства не обратится строго в нуль. Поэтому перепишем его предварительно в эквивалентном виде

+ x = −x2 − βx2 − (1 − ) .                        (28.11)

Положив здесь x=x(1)+x(2), ω=ω0(1) и опустив члены выше второго порядка малости, получим для x(2) уравнение

(2)x(2) = −α2 cos2 ωt + 2ω0ω(1)α cos ωt = −  − cos (2ωt) + 2ω0ω(1) cos ωt.

Условие отсутствия резонансного члена в правой части равенства дает просто ω(1)=0 в соответствии с изложенным в начале параграфа методом нахождения второго приближения. После этого, решая обычным способом неоднородное линейное уравнение, получим

x(2) = − cos (2ωt).                         (28.12)

Далее, положив в (28.11) x=x(1)+x(2)+x(3), ω=ω0(2), получим уравнение для x(3)

(3)x(3) = −2x(1)x(2) − βx(1)3 + 2ω0ω(2)x(1)

или, подставив в правую часть выражения (28.10) и (28.12) после простого преобразования:

(3)x(3) = −α3 +  cos (Зωt) + α 0ω(2) +  −  α2β cos ωt.

Приравнивая нулю коэффициент при резонансном множителе cos ωt, найдем поправку к основной частоте, пропорциональную квадрату амплитуды колебания:

ω(2) = α2.                                     (28.13)

Комбинационное же колебание третьего порядка

x(3)  cos (3ωt).                         (28.14)