18 | 11 | 2017

Ангармонические колебания

Таким образом, в правых частях уравнений (28.6) находятся члены, соответствующие колебаниям с частотами, равными суммам и разностям собственных частот системы. Решение уравнений следует искать в виде, содержащем такие же периодические множители, и мы приходим к выводу, что во втором приближении на нормальные колебания системы с частотами ω накладываются дополнительные колебания с частотами

ω ± ωβ                                           (28.7)

(в том числе удвоенные частоты 2ω и частота 0, соответствующая постоянному смещению). Эти частоты называются комбинационными. Амплитуды комбинационных колебаний пропорциональны произведениям ααβ (или квадратам ) соответствующих нормальных колебаний.

В следующих приближениях при учете членов более высокого порядка в разложении функции Лагранжа возникают комбинационные колебания с частотами, являющимися суммами и разностями большего числа частот ω. Кроме того, однако, возникает еще и новое явление.

Дело в том, что уже в третьем приближении среди комбинационных частот появляются частоты, совпадающие с исходными ωβ−ωβ). При применении описанного выше метода в правой части уравнений движения будут находиться, следовательно, резонансные члены, которые приведут к возникновению в решении членов с возрастающей со временем амплитудой. Между тем, физически очевидно, что в замкнутой системе в отсутствие внешнего источника энергии не может происходить самопроизвольное нарастание интенсивности колебаний.

В действительности в высших приближениях происходит изменение основных частот ω по сравнению с их «невозмущенными» значениями , фигурирующими в квадратичном выражении потенциальной энергии. Появление же возрастающих членов в решении связано с разложением типа

cos ( + Δω)t ≈ cos (t ) −t Δω sin (t ),

явно незаконным при достаточно больших t.

Поэтому при переходе к следующим приближениям метод последовательных приближений должен быть видоизменен так, чтобы фигурирующие в решении периодические множители с самого начала содержали точные, а не приближенные значения частот. Изменения же частот сами определятся в результате решения уравнений как раз из условия отсутствия резонансных членов.

Продемонстрируем этот метод на ангармонических колебаниях с одной степенью свободы, написав функцию Лагранжа в виде

L − x2 − x3 − x4.                     (28.8)

Соответствующее уравнение движения

 + x = −x2 − βx3.                                      (28.9)