24 | 09 | 2017

Ангармонические колебания

Вся изложенная выше теория малых колебаний основана на разложении потенциальной и кинетической энергий системы по координатам и скоростям с оставлением лишь членов второго порядка; при этом уравнения движения линейны, в связи с чем в этом приближении говорят о линейных колебаниях. Хотя такое разложение вполне законно при условии достаточной малости амплитуд колебаний, однако учет следующих приближений (так называемой ангармоничности или нелинейности колебаний) приводит к появлению некоторых хотя и слабых, но качественно новых особенностей движения.

Произведем разложение функции Лагранжа до членов третьего порядка. В потенциальной энергии при этом появятся члены третьей степени по координатам xi, в кинетической же энергии — члены, содержащие произведения скоростей и координат вида ikxl;это отличие от прежнего выражения (23.3) связано с оставлением членов первого порядка по x в разложении функций αik(q). Таким образом, функция Лагранжа будет иметь вид

L = (mik i kkik xi xk) + nikl ikxl liklxixkxl ,   (28.1)

где nikllikl  — новые постоянные коэффициенты.

Если от произвольных координат xi перейти к нормальным координатам (линейного приближения) Q, то в силу линейности этого преобразования третья и четвертая суммы в (28.1) перейдут в аналогичные суммы, в которых вместо координат xi и скоростей i будут стоять Q и . Обозначив коэффициенты в этих суммах через λβ и μβ, получим функцию Лагранжа в виде

L = () + λββQ μβQQβQ. (28.2)

Мы не станем выписывать полностью следующих из этой лагранжевой функции уравнений движения. Существенно, что они имеют вид

Q = ƒ (Q,,),                        (28.3)

где ƒ — однородные функции второго порядка от координат Q и их производных по времени.

Применяя метод последовательных приближений, ищем решение этих уравнений в виде

Q,                                      (28.4)

где <<, а функции  удовлетворяют «невозмущенным» уравнениям

= 0,

т.е. представляют собой обычные гармонические колебания

= α cos (ωt + ).                          (28.5)

Сохраняя в следующем приближении в правой части уравнений (28.3) лишь члены второго порядка малости, получим для величин  уравнения

= ƒ(,,),                (28.6)

где в правую часть должны быть подставлены выражения (28.5). В результате мы получим линейные неоднородные дифференциальные уравнения, правые части которых можно преобразовать к суммам простых периодических функций. Так, например,

= ααβ cos (ωt + ) cos (ωβt + β) = ααβ {cos [(ω + ωβ)t + + β]+ cos [(ω − ωβ)t +  − β]}.