18 | 11 | 2017

Параметрический резонанс

Существуют такие незамкнутые колебательные системы, в которых внешнее воздействие сводится к изменению со временем ее параметров.

Параметрами одномерной системы являются коэффициенты m и k в функции Лагранжа (21.3); если они зависят от времени, то уравнение движения гласит:

(m) + kx = 0.                                        (27.1)

Путем введения вместо t новой независимой переменной  согласно d=dt/m(t) это уравнение приводится к виду

+ mkx = 0.

Поэтому фактически, без всякого органичения общности, достаточно рассмотреть уравнение движения вида

+ ω2(t)x = 0,                            (27.2)

которое получилось бы из (27.1) при m=const.

Вид функции ω(t) задается условиями задачи; предположим, что эта функция периодическая с некоторой частотой  (и периодом T= 2/). Это значит, что

ω(t + T) = ω(t),

а потому и все уравнение (27.2) инвариантно по отношению к преобразованию tt+Т. Отсюда следует, что если x(t) есть решение уравнения, то и функция x(t+Т) тоже есть решение. Другими словами, если x1(t) и x2(t) — два независимых интеграла уравнения (27.2), то при замене tt+Т они преобразуются линейным образом друг через друга. При этом можно выбрать x1 и x2 таким образом, чтобы их изменение при замене t на t+T сводилось просто к умножению на постоянный множитель

x1 (t + Т) = μ1x1(t),      x2 (t + Т) = μ2x2(t).

Наиболее общий вид функций, обладающих таким свойством, есть

x1(t) = μ1tT Π1(t),  x2(t) = μ2tT Π2(t),                   (27.3)

где Π1(t) и Π2(t) — тгасто периодитюские функции времени (с периодом T).

Постоянные μ1 и μ2 в этих функциях должны быть связаны друг с другом определенным соотношением. Действительно, умножив уравнения

1 + ω2(t)x1 = 0,  2 + ω2(t)x2 = 0

соответственно на x2 и x1 и вычтя их почленно одно из другого, получим

1x2 − 2x1 (1x2 − x12) = 0

или

1x2 − x12 = const.                                   (27.4)

Но при любых функциях x1(t) и x2(t) вида (27.3) выражение в левой части этого равенства умножается на μ1μ2 при изменении аргумента t на t+T. Поэтому ясно, что соблюдение равенства (27.4) во всяком случае требует, чтобы было

μ1μ2 = 1.                                                   (27.5)

Дальнейшие заключения о постоянных μ1, μ2 можно сделать, исходя из факта вещественности коэффициентов уравнения (27.2). Если x(t) есть какой-либо интеграл такого уравнения, то и комплексно сопряженная функция x*(t) должна удовлетворять тому же уравнению. Отсюда следует, что пара постоянных μ1, μ2 должна совпадать с парой , , т.е. должно быть либо μ1=, либо μ1 и μ2 вещественны. В первом случае, учитывая (27.5), имеем μ1=1/, т.е. |μ1|2=|μ2|2=1; постоянные μ1 и μ2 по модулю равны единице.

Во втором же случае два независимых интеграла уравнения (27.2) имеют вид

x1(t) = μtT Π1(t),  x2(t) = μ−tT Π2(t)                         (27.6)

с отличным от единицы положительным или отрицательным вещественным числом μ. Одна из этих функций (первая или вторая при |μ|>1 и |μ|<1) экспоненциально возрастает со временем. Это значит, что состояние покоя системы (в положении равновесия x=0) будет неустойчивым: достаточно сколь угодно слабого отклонения от этого состояния, чтобы появившееся смещение x стало быстро возрастать со временем. Это явление называется параметрическим резонансом.