18 | 11 | 2017

Вынужденные колебания при наличии трения

Отметим характерную особенность хода изменения разности фаз δ между колебанием и вынуждающей силой при изменении частоты последней. Эта разность всегда отрицательна, т.е. колебание «запаздывает» относительно внешней силы. Вдали от резонанса, со стороны 0, δ стремится к нулю, а со стороны 0 — к значению −. Изменение δ от нуля до − происходит в узкой (ширины ~λ) области частот, близких к ω0; через значение −/2 разность фаз проходит при 0. Отметим в этой связи, что в отсутствие трения изменение фазы вынужденного колебания на величину  происходит скачком при 0 (второй член в (22.4) меняет знак); учет трения
«размазывает» этот скачок.

При установившемся движении, когда система совершает вынужденные колебания (26.5), ее энергия остается неизменной. В то же время система непрерывно поглощает (от источника внешней силы) энергию, которая диссипируется благодаря наличию трения. Обозначим через I() количество энергии, поглощаемой в среднем в единицу времени, как функцию частоты внешней силы. Согласно (25.13) имеем

I() = 2,

где  — среднее (по периоду колебания) значение диссипативной функции. Для одномерного движения выражение (25.11) диссипативной функции сводится к F = 2 /2 = λm2. Подставив сюда (26.5), получим

F = λmb22 sin2 (t + δ).

Среднее по времени значение квадрата синуса равно 1/2, поэтому

I() = λmb22.                                              (26.8)

Вблизи резонанса, подставляя амплитуду колебания из (26.7), имеем  

I(ε) =   .                                      (26.9)

Такой вид зависимости поглощения от частоты называется дисперсионным. Полушириной резонансной кривой (рис. 31) называют значение |ε|, при котором величина I(ε) уменьшается вдвое по сравнению с ее максимальным значением при ε=0.

Рис. 31

Из формулы (26.9) видно, что в данном случае эта ширина совпадает с показателем затухания λ. Высота же максимума

I(0) = 

обратно пропорциональна λ. Таким образом, при уменьшении показателя затухания резонансная кривая становится уже и выше, т.е. ее максимум становится более острым. Площадь же под резонансной кривой остается при этом неизменной.

Последняя дается интегралом

I() d = I(ε) dε.

Поскольку I(ε) быстро убывает при увеличении |ε|, так что область больших |ε| все равно не существенна, можно при интегрировании писать I(ε) в виде (26.9), а нижний предел заменить на −. Тогда

I(ε) dε = .                               (26.10)