24 | 09 | 2017

Вынужденные колебания при наличии трения

Исследование вынужденных колебаний при наличии трения вполне аналогично произведенному здесь рассмотрению колебаний без трения. Мы остановимся здесь подробно на представляющем самостоятельный интерес случае периодической вынуждающей силы.

Прибавив в правой части уравнения (25.1) внешнюю силу ƒcost и разделив на m, получим уравнение движения в виде

 + 2λx cos t.                                     (26.1)

Решение этого уравнения удобно находить в комплексной форме, для чего пишем в правой части eit вместо cost:

 + 2λx eit.

Частный интеграл ищем в виде х = Вегу1 и находим для В:

B .

Представив B в виде be, имеем для b и δ:

b = ,  tg δ =  .             (26.3)

Наконец, отделив вещественную часть от выражения Beit=bt+δ) получим частный интеграл уравнения (26.1), а прибавив к нему общее решение уравнения без правой части (которое мы напишем для определенности для случая ω0>λ), получим окончательно:

x = αe−λt cos (ωt + ) + b cos (λt + δ).                      (26.4)

Первое слагаемое экспоненциально убывает со временем, так что через достаточно большой промежуток времени остается только второй член:

x = b cos (t + δ).                                                    (26.5)

Выражение (26.3) для амплитуды b вынужденного колебания хотя и возрастает при приближении частоты к ω0, но не обращается в бесконечность, как это было при резонансе в отсутствие трения. При заданной амплитуде силы ƒ амплитуда колебания максимальна при частоте =; при λ<<ω0 это значение отличается от ω0 лишь на величину второго порядка малости.

Рассмотрим область вблизи резонанса. Положим 0+ε, где ε — малая величина; будем также считать, что λ<<ω0. Тогда в (26.2) можно приближенно заменить:

2 − = ( + ω0)( − ω0) ≈ 2ω0ε,  2i λ ≈ 2i λω0,

так что

B = −                                                  (26.6)

или

b ,  tg δ = .                     (26.7)