18 | 11 | 2017

Затухающие колебания

Диссипативная функция имеет сама по себе важный физический смысл — ею определяется интенсивность диссипации энергии в системе. В этом легко убедиться, вычислив производную по времени от механической энергии системы. Имеем

=  L = i − = − .

Поскольку F — квадратичная функция скоростей, то в силу теоремы Эйлера об однородных функциях сумма в правой части равенства равна 2F. Таким образом,

dE /t = −2F,                                                      (25.13)

т.е. скорость изменения энергии системы дается удвоенной диссипативной функцией. Так как диссипативные процессы приводят к уменьшению энергии, то должно быть всегда F>0, т.е. квадратичная форма (25.11) существенно положительна.

Уравнения малых колебаний при наличии трения получаются добавлением сил (25.8) в правую часть уравнений (23.5):

mik kkik xk = −ik k .                         (25.14)

Положив в этих уравнениях

xk = Аk ert,

получим по сокращении на ert систему линейных алгебраических уравнений для постоянных Ak

(mik r2ik r + kik)Аk = 0.                                (25.15)

Приравняв нулю определитель этой системы, найдем характеристическое уравнение, определяющее значения r:

|mik r2ik r + kik| = 0.                                         (25.16)

Это — уравнение степени 2s относительно r. Поскольку все его коэффициенты вещественны, то его корни либо вещественны, либо попарно комплексно сопряжены. При этом вещественные корни непременно отрицательны, а комплексные имеют отрицательную вещественную часть. В противном случае координаты и скорости, а с ними и энергия системы экспоненциально возрастали бы со временем, между тем как наличие диссипативных сил должно приводить к уменьшению энергии.