20 | 11 | 2017

Затухающие колебания

Если λ<<ω0, то за время одного периода 2/ω амплитуда затухающего колебания почти не меняется. В этом случае имеет смысл рассматривать средние (за период) значения квадратов координаты и скорости, пренебрегая при усреднении изменением множителя eλt. Эти средние квадраты, очевидно, пропорциональны et. Поэтому и энергия системы в среднем убывает по закону

 = E0et,                                       (25.5)

где E0 — начальное значение энергии.

Пусть теперь λ>ω0. Тогда оба значения r вещественны, причем оба отрицательны. Общий вид решения

x = c1 ехр[−(λ −)t] + c2 ехр[−(λ +)t].        (25.6)

Мы видим, что в этом случае, возникающем при достаточно большом трении, движение состоит в убывании |x|, т.е. в асимптотическом (при t→) приближении к положению равновесия. Этот тип движения называют апериодическим затуханием.

Наконец, в особом случае, когда λ=ω0, характеристическое уравнение имеет всего один (двойной) корень r=−λ. Как известно, общее решение дифференциального уравнения имеет в этом случае вид

x = (c1 + c2t)eλt.                                      (25.7)

Это — особый случай апериодического затухания. Оно тоже не имеет колебательного характера.

Для системы со многими степенями свободы обобщенные силы трения, соответствующие координатам xi, являются линейными функциями скоростей вида

ƒi тр = −ik k .                                        (25.8)

Из чисто механических соображений нельзя сделать никаких заключений о свойствах симметрии коэффициентов ik по индексам i и k. Методами же статистической физики можно показать, что всегда

ik = ki .                                                        (25.9)

Поэтому выражения (25.8) могут быть написаны в виде производных

ƒi тр = −                                                      (25.10)

от квадратичной формы

F = ik i k,                                               (25.11)

называемой диссипативной функцией.

Силы (25.10) должны быть добавлены к правой части уравнений Лагранжа

  −  .                                         (25 12)