18 | 11 | 2017

Колебания систем со многими степенями свободы

Каждой кратной (или, как говорят, вырожденной) частоте отвечает столько различных нормальных координат, какова степень кратности, но выбор этих нормальных координат не однозначен. Поскольку в кинетическую и потенциальную энергии нормальные координаты (с одинаковым ω) входят в виде одинаково преобразующихся сумм и , то их можно подвергнуть любому линейному преобразованию, оставляющему инвариантной сумму квадратов.

Весьма просто нахождение нормальных координат для трехмерных колебаний одной материальной точки, находящейся в постоянном внешнем поле. Помещая начало декартовой системы координат в точку минимума потенциальной энергии U(x,y,z), мы получим последнюю в виде квадратичной формы переменных x, y, z, а кинетическая энергия

Т = (2 + 2 + 2)

(m — масса частиц) не зависит от выбора направления координатных осей. Поэтому соответствующим поворотом осей надо только привести к диагональному виду потенциальную энергию. Тогда

L = (2 + 2 + 2) − (k1x2 + k2y2 + k3z2),               (23.14)

и колебания вдоль осей x, y, z являются главными с частотами

ω1 = ,  ω2 = ,  ω3 = .

В частном случае центрально-симметричного поля (k1=k2=k3=k, U=kr2⁄2) эти три частоты совпадают.

Использование нормальных координат дает возможность привести задачу о вынужденных колебаниях системы с несколькими степенями свободы к задачам об одномерных вынужденных колебаниях. Функция Лагранжа системы с учетом действующих на нее переменных внешних сил имеет вид

L = L0Fk(t)xk ,                                   (23.15)

где L0 — лагранжева функция свободных колебаний. Вводя вместо координат нормальные координаты, получим

L = ( − ) + ƒ(t)Q,                        (23.16)

где введено обозначение

ƒ(t) = Fk(t) .

Соответственно уравнения движения

+ Q = ƒ(t)                                    (23.17)

будут содержать лишь по одной неизвестной функции Q(t).