18 | 11 | 2017
Find all the latest news uk today and updates from stories around the UK. Including politics, transport, education, health and religion

Колебания систем со многими степенями свободы

Общее же решение дается суммой всех s частных решений. Переходя к вещественной части, напишем его в виде

xk = ReΔkCetΔkΘ,                               (23.9)

где мы ввели обозначение

Θ = Re {Cet }.                                             (23.10)

Таким образом, изменение каждой из координат системы со временем представляет собой наложение s простых периодических колебаний Θ1, Θ2, ..., Θs с произвольными амплитудами и фазами, но имеющих вполне определенные частоты.

Естественно возникает вопрос, нельзя ли выбрать обобщенные координаты таким образом, чтобы каждая из них совершала только одно простое колебание? Тамая форма общего интеграла (23.9) указывает путь к решению этой задачи.

В самом деле, рассматривая s соотношений (23.9) как систему уравнений с s неизвестными величинами Θ, мы можем, разрешив эту систему, выразить величины Θ1, Θ2, ..., Θs через координаты x1, x2, ..., xs. Следовательно, величины Θ можно рассматривать как новые обобщенные координаты. Эти координаты называют нормальными (или главными), а совершаемые ими простые периодические колебания — нормальными колебаниями системы.

Нормальные координаты Θ удовлетворяют, как это явствует из их определения, уравнениям

+ Θ = 0.                                         (23.11)

Это значит, что в нормальных координатах уравнения движения распадаются на в независимых друг от друга уравнений. Ускорение каждой нормальной координаты зависит только от значения этой координаты, и для полного определения ее временной зависимости надо знать начальные значения только ее же самой и соответствующей ей скорости. Другими словами, нормальные колебания системы полностью независимы.

Из сказанного очевидно, что функция Лагранжа, выраженная через нормальные координаты, распадается на сумму выражений, каждое из которых соответствует одномерному колебанию с одной из частот сиа, т.е. имеет вид

L (Θ),                            (23.12)

где m — положительные постоянные. С математической точки зрения это означает, что преобразованием (23.9) обе квадратичные формы — кинетическая энергия (23.3) и потенциальная (23.2) — одновременно приводятся к диагональному виду.

Обычно нормальные координаты выбирают таким образом, чтобы коэффициенты при квадратах скоростей в функции Лагранжа были равны 1/2. Для этого достаточно определить нормальные координаты (обозначим их теперь через Q)равенствами

Q = Θ.                                                 (23.13)

Тогда

L = ().

Все изложенное мало меняется в случае, когда среди корней характеристического уравнения имеются кратные корни. Общий вид (23.9), (23.10) интеграла уравнений движений остается таким же (с тем же числом s членов) с той лишь разницей, что соответствующие кратным частотам коэффициенты Δk уже не являются минорами определителя, которые, как известно, обращаются в этом случае в нуль.