18 | 11 | 2017

Колебания систем со многими степенями свободы

Они представляют собой систему s(i=1,2,...,s) линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

По общим правилам решения таких уравнений ищем s неизвестных функций xk(t) в виде

xk = Akeiωt ,                                                     (23.6)

где Ak — некоторые, пока неопределенные, постоянные. Подставляя (23.6) в систему (23.5), получаем по сокращении на eiωt систему линейных однородных алгебраических уравнений, которым должны удовлетворять постоянные Ak:

(−ω2mik + kik)Ak = 0.                                 (23.7)

Для того чтобы эта система имела отличные от нуля решения, должен обращаться в нуль ее определитель

|kik − ω2mik| = 0.                                            (23.8)

Уравнение (23.8) — так называемое характеристическое уравнение — представляет собой уравнение степени s относительно ω2. Оно имеет в общем случае s различных вещественных положительных корней ω2=1,2,...,s (в частных случаях некоторые из этих корней могут совпадать). Определенные таким образом величины ω называются собственными частотами системы.

Вещественность и положительность корней уравнения (23.8) заранее очевидны уже из физических соображений. Действительно, наличие у ω мнимой части означало бы наличие во временной зависимости координат xk (23.6) (а с ними и скоростей xk) экспоненциально убывающего или экспоненциально возрастающего множителя. Но наличие такого множителя в данном случае недопустимо, так как оно привело бы к изменению со временем полной энергии E = U + T системы в противоречии с законом ее сохранения.

В том же самом можно убедиться и чисто математическим путем. Умножив уравнение (23.7) на Ai* и просуммировав затем по i, получим

(−ω2mik + kik)Ai*Ak = 0,

откуда

ω2 = .

Квадратичные формы в числителе и знаменателе этого выражения вещественны в силу вещественности и симметричности коэффициентов kik и mik действительно,

kikAi*AkkikAiAk* = kkiAiAk* = kikAkAi* .

Они также существенно положительны, а потому положительно и ω2. После того как частоты ω найдены, подставляя каждое из них в уравнения (23.7), можно найти соответствующие значения коэффициентов Ak. Если все корни ω характеристического уравнения различны, то, как известно, коэффициенты Ak пропорциональны минорам определителя (23.8), в котором ω заменена соответствующим значением ω; обозначим эти миноры через Δk. Частное решение системы дифференциальных уравнений (23.5) имеет, следовательно, вид

xk = ΔkCet ,

где C — произвольная (комплексная) постоянная.