24 | 09 | 2017

Колебания систем со многими степенями свободы

Теория свободных колебаний систем с несколькими (s) степенями свободы строится аналогично тому, как были рассмотрены здесь одномерные колебания.

Пусть потенциальная энергия системы U как функция обобщенных координат qi(i=1,2,...,s) имеет минимум при qi=qi0. Вводя малые смещения

xiqiqi0                                                       (23.1)

и разлагая по ним и с точностью до членов второго порядка, получим потенциальную энергию в виде положительно определенной квадратичной формы

U + kik xi xk,    (23.2)

где мы снова отсчитываем потенциальную энергию от ее минимального значения. Поскольку коэффициенты kik и kki входят в (23.2) умноженными на одну и ту же величину xi xk, то ясно, что их можно всегда считать симметричными по своим индексам:

kik = kki .

В кинегической же энергии, которая имеет в общем случае вид

αik (q)i k

(см. (5.5)), полагаем в коэффициентах qi=qi0 и, обозначая постоянные αik(q0) через mik, получаем ее в виде положительно определенной квадратичной формы

mik i k.                                          (23.3)

Коэффициенты mik тоже можно всегда считать симметричными по индексам

mik = mki .

Таким образом, лагранжева функция системы, совершающей свободные малые колебания, имеет вид

L = (mik i k − kik xi xk).                                  (23.4)

Составим теперь уравнения движения. Для определения входящих в них производных напишем полный дифференциал функции Лагранжа

dL = (mik i dk + mik k dikik xi dxkkik xk dxi).

Поскольку величина суммы не зависит, разумеется, от обозначения индексов суммирования, меняем в первом и третьем членах в скобках i на k, а k на i; учитывая при этом симметричность коэффициентов mik и kik, получим

dL = (mik k dikik xk dxi).

Отсюда видно, что

 = mik k,     = −mik xk .

Поэтому уравнения Лагранжа

mik kkik xk = 0.                                   (23.5)