18 | 11 | 2017

Вынужденные колебания

Уравнение (22.8) уже не второго, а первого порядка. Вез правой части его решением было бы ξ=Aeiωt с постоянной A. Следуя общему правилу, ищем решение неоднородного уравнения в виде ξ=A(t)eiωt и для функции A(t) получаем уравнение

(t ) =  F (t )e−iωt.

Интегрируя его, получим решение уравнения (22.8) в виде

ξ = eiωt F (t )e−iωtdt + ξ0,                               (22.10)

где постоянная интегрирования ξ0,о выбрана так, чтобы представлять собой значение ξ, в момент времени t=0. Это и есть искомое общее решение; функция x(t) дается мнимой частью выражения (22.10) (деленной на ω).

Энергия системы, совершающей вынужденные колебания, разумеется, не сохраняется; система приобретает энергию за счет источника внешней силы. Определим полную энергию, передаваемую системе за все время действия силы (от − до +), предполагая начальную энергию равной нулю. Согласно формуле (22.10) (с нижним пределом интегрирования − вместо нуля и с ξ(−)=0) имеем при t→:

|ξ(−)|2 =  F (t )e−iωtdt .

С другой стороны, энергия системы как таковой дается выражением

E = (2 + ω2x2) = |ξ|2.                             (22.11)

Подставив сюда |£,(оо)|2, получим искомую передачу энергии в виде

E F (t )e−iωtdt ;                                (22.12)

она определяется квадратом модуля компоненты Фурье силы F(t) с частотой, равной собственной частоте системы.

В частности, если внешняя сила действует лишь в течение короткого промежутка времени (малого по сравнению с 1/ω), то можно положить e−iωt≈1. Тогда

E F (t )dt.

Этот результат заранее очевиден: он выражает собой тот факт, что кратковременная сила сообщает системе импульс ∫Fdt, не успев за это время произвести заметного смещения.