20 | 11 | 2017

Вынужденные колебания

При →ω второй член дает неопределенность вида 0/0. Раскрывая ее по правилу Лопиталя, получим

xα cos (ωt + ) +  sin (ωt + β).                          (22.5)

Таким образом, в случае резонанса амплитуда колебаний растет линейно со временем (до тех пор, пока колебания не перестанут быть малыми и вся излагаемая теория перестанет быть применимой).

Выясним еще, как выглядят малые колебания вблизи резонанса, когда =ω+ε, где ε — малая величина. Представим общее решение в комплексном виде, как

x = Aeiωt + Bei (ω+ε) = (A + Bet ) eiωt.                        (22.6)

Так как величина А + Beltl мало меняется в течение периода 2/ω множителя eiωt, то движение вблизи резонанса можно рассматривать как малые колебания, но с переменной амплитудой.

Обозначив последнюю через C, имеем

C = |A + Bet|.

Представив A и B соответственно в виде αei и be, получим

C2 = α2 + b2 + 2αb cos (εt + β − ).                            (22.7)

Таким образом, амплитуда колеблется периодически с частотой ε, меняясь между двумя пределами

|α − b| ≤ C ≤ α + b.

Это явление носит название биений.

Уравнение движения (22.2) может быть проинтегрировано и в общем виде при произвольной вынуждающей силе F(t). Это легко сделать, переписав его предварительно в виде

( + iωx ) − ( + iωx) =  F (t )

или

iωx F (t ),                                       (22.8)

где введена комплексная величина

ξ = + iωx.                                                  (22.9)