18 | 11 | 2017

Вынужденные колебания

Перейдем к рассмотрению колебаний в системе, на которую действует некоторое переменное внешнее поле; такие колебания называют вынужденными в отличие от рассмотренных в предыдущем параграфе так называемых свободных колебаний. Поскольку колебания предполагаются по-прежнему малыми, то тем самым подразумевается, что внешнее поле достаточно слабо, в противном случае оно могло бы вызвать слишком большое смещение x.

В этом случае наряду с собственной потенциальной энергией (1/2)kx2 система обладает еще потенциальной энергией Ue(x,t), связанной с действием внешнего поля. Разлагая этот дополнительный член в ряд по степеням малой величины x, получим

Ue (x,t) ≈ Ue(0,t) + x .

Первый член является функцией только от времени и потому может быть опущен в лагранжевой функции (как полная производная по t от некоторой другой функции времени). Во втором члене −∂Ue/∂x есть внешняя «сила», действующая на систему в положении равновесия и являющаяся заданной функцией времени; обозначим ее как F(t).   Таким образом, в потенциальной энергии появляется член −xF(t), так что функция Лагранжа системы будет

L −  + xF (t).                                (22.1)

Соответствующее уравнение движения есть

+ kx = F (t),

или

+ ω2x = F (t),                                            (22.2)

где мы снова ввели частоту w свободных колебаний.

Как известно, общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами получается в виде суммы двух выражений: x=x0+x1, где x0 — общее решение однородного уравнения, а x1 — частный интеграл неоднородного уравнения. В данном случае x0 представляет собой рассмотренные в предыдущем параграфе свободные колебания.

Рассмотрим имеющий особый интерес случай, когда вынуждающая сила тоже является простой периодической функцией времени с некоторой частотой :

F (t) = ƒ cos (t + β).                                             (22.3)

Частный интеграл уравнения (22.2) ищем в виде x1=b cos(t+β) с тем же периодическим множителем. Подстановка в уравнение дает: b=ƒ⁄[m22)]; прибавляя решение однородного уравнения, получим общий интеграл в виде

xα cos (ωt + ) + cos (t + β).               (22.4)

Произвольные постоянные а и а определяются из начальных условий.

Таким образом, под действием периодической вынуждающей силы система совершает движение, представляющее собой совокупность двух колебаний — с собственной частотой системы ω и с частотой вынуждающей силы .

Решение (22.4) неприменимо в случае так называемого резонанса, когда частота вынуждающей силы совпадает с собственной частотой системы. Для нахождения общего решения уравнения движения в этом случае перепишем выражение (22.4) с соответствующим переобозначением постоянных в виде

xα cos (ωt + ) + [cos (t + β) − cos (ωt + β)].