20 | 11 | 2017

Свободные одномерные колебания

Это выражение может быть написано также и в виде

x = α cos (ωt + ).                                (21.8)

Поскольку cos(ωt+)=cosωt×cos−sinωt×sin, сравнение с (21.7) показывает, что произвольные постоянные α и связаны с постоянными c1 и c2 соотношениями

α = ,     tg = −c2c1.                (21.9)

Таким образом, вблизи положения устойчивого равновесия система совершает гармоническое колебательное движение. Коэффициент а при периодическом множителе в (21.8) называется амплитудой колебаний, а аргумент косинуса — их фазой;  есть начальное значение фазы, зависящее, очевидно, от выбора начала отсчета времени. Величина ω называется циклической частотой колебаний; в теоретической физике, впрочем, ее называют обычно просто частотой, что мы и будем делать в дальнейшем.

Частота является основной характеристикой колебаний, не зависящей от начальных условий движения. Согласно формуле (21.6) она всецело определяется свойствами механической системы как таковой. Подчеркнем, однако, что это свойство частоты связано с предполагаемой малостью колебаний и исчезает при переходе к более высоким приближениям. С математической точки зрения оно связано с квадратичной зависимостью потенциальной энергии от координаты.

Энергия системы, совершающей малые колебания, есть

E = (2 + ω2x2)

или, подставив сюда (21.8):

E = mω2α2.                                       (21.10)

Она пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

Зависимость координаты колеблющейся системы от времени часто оказывается удобным представлять в виде вещественной части комплексного выражения

x = Reе{Aeiωt},                                        (21.11)

где А — комплексная постоянная; написав ее в виде

A = αei,                                                 (21.12)

мы вернемся к выражению (21.8). Постоянную A называют комплексной амплитудой; ее модуль совпадает с обычной амплитудой, а аргумент — с начальной фазой.

Оперирование с экспоненциальными множителями в математическом отношении проще, чем с тригонометрическими, так как дифференцирование не меняет их вида. При этом, пока мы производим лишь линейные операции (сложение, умножение на постоянные коэффициенты, дифференцирование, интегрирование), можно вообще опускать знак взятия вещественной части, переходя к последней лишь в окончательном результате вычислений.