24 | 09 | 2017

Свободные одномерные колебания

Очень распространенный тип движения механических систем представляют собой так называемые малые колебания, которые система совершает вблизи своего положения устойчивого равновесия. Рассмотрение этих движений мы начнем с наиболее простого случая, когда система имеет всего одну степень свободы.

Устойчивому равновесию соответствует такое положение системы, в котором ее потенциальная энергия U(q) имеет минимум; отклонение от такого положения приводит к возникновению силы —dU/dq, стремящейся вернуть систему обратно. Обозначим соответствующее значение обобщенной координаты через q0. При малых отклонениях от положения равновесия в разложении разности U(q)−U(q0) по степеням q−q0 достаточно сохранить первый неисчезающий член. В общем случае таковым является член второго порядка

U (q) − U (q0) ≈ (q − q0)2,

где k — положительный коэффициент (значение второй производной U”(q) при q=q0). Будем в дальнейшем отсчитывать потенциальную энергию от ее минимального значения (т.е. положим U(q0)=0) и введем обозначение

x = q − q0                                              (21.1)

для отклонения координаты от ее равновесного значения. Таким образом,

U (x) = .                                               (21.2)

Кинетическая энергия системы с одной степенью свободы имеет в общем случае вид

α (q) 2 = α (q) 2.

В том же приближении достаточно заменить функцию α(q) просто ее значением при q=q0. Вводя для краткости обозначение

α (q0) = m,

получим окончательно следующее выражение для лагранжевой функции системы, совершающей одномерные малые колебания:

L =  − .                                  (21.3)

Соответствующее этой функции уравнение движения гласит:

m + = 0,                                      (21.4)

или

+ ω2х = 0,                                       (21.5)

где введено обозначение

ω = .                                        (21.6)

Два независимых решения линейного дифференциального уравнения (21.5): cos ωt и sin ωt, так что его общее решение

x = c1 cos ωt + c2 sin ωt.                       (21.7)