24 | 09 | 2017

Свободные одномерные колебания

Очень распространенный тип движения механических систем представляют собой так называемые малые колебания, которые система совершает вблизи своего положения устойчивого равновесия. Рассмотрение этих движений мы начнем с наиболее простого случая, когда система имеет всего одну степень свободы.

Устойчивому равновесию соответствует такое положение системы, в котором ее потенциальная энергия U(q) имеет минимум; отклонение от такого положения приводит к возникновению силы —dU/dq, стремящейся вернуть систему обратно. Обозначим соответствующее значение обобщенной координаты через q0. При малых отклонениях от положения равновесия в разложении разности U(q)−U(q0) по степеням q−q0 достаточно сохранить первый неисчезающий член. В общем случае таковым является член второго порядка

Подробнее: Свободные одномерные колебания

Вынужденные колебания

Перейдем к рассмотрению колебаний в системе, на которую действует некоторое переменное внешнее поле; такие колебания называют вынужденными в отличие от рассмотренных в предыдущем параграфе так называемых свободных колебаний. Поскольку колебания предполагаются по-прежнему малыми, то тем самым подразумевается, что внешнее поле достаточно слабо, в противном случае оно могло бы вызвать слишком большое смещение x.

Подробнее: Вынужденные колебания

Колебания систем со многими степенями свободы

Теория свободных колебаний систем с несколькими (s) степенями свободы строится аналогично тому, как были рассмотрены здесь одномерные колебания.

Пусть потенциальная энергия системы U как функция обобщенных координат qi(i=1,2,...,s) имеет минимум при qi=qi0. Вводя малые смещения

xiqiqi0                                                       (23.1)

и разлагая по ним и с точностью до членов второго порядка, получим потенциальную энергию в виде положительно определенной квадратичной формы

Подробнее: Колебания систем со многими степенями свободы

Колебания молекул

Если мы имеем дело с системой частиц, взаимодействующих друг с другом, но не находящихся во внешнем поле, то не все ее степени свободы имеют колебательный характер. Типичным примером таких систем являются молекулы. Помимо движений, представляющих собой колебания атомов около их положения равновесия внутри молекулы, молекула как целое может совершать поступательное и вращательное движения.

Поступательному перемещению соответствуют три степени свободы. Столько же имеется в общем случае вращательных степеней свободы, так что из 3n степеней свободы n-атомной молекулы всего Зn−6 отвечают колебательному движению. Исключение представляют молекулы, в которых все атомы расположены вдоль одной прямой. Поскольку говорить о вращении вокруг этой прямой не имеет смысла, то вращательных степеней свободы в этом случае всего две, так что колебательных имеется Зn−5.

Подробнее: Колебания молекул

Затухающие колебания

До сих пор мы всегда подразумевали, что движение тел происходит в пустоте или что влиянием среды на движение можно пренебречь. В действительности при движении тела в среде последняя оказывает сопротивление, стремящееся замедлить движение. Энергия движущегося тела при этом в конце концов переходит в тепло или, как говорят, диссипируется.

Процесс движения в этих условиях уже не является чисто механическим процессом, а его рассмотрение требует учета движения самой среды и внутреннего теплового состояния как среды, так и тела. В частности, уже нельзя утверждать в общем случае, что ускорение движущегося тела является функцией лишь от его координат и скорости в данный момент времени, т.е. не существует уравнений движения в том смысле, какой они имеют в механике. Таким образом, задача о движении тела в среде уже не является задачей механики.

Подробнее: Затухающие колебания

Вынужденные колебания при наличии трения

Исследование вынужденных колебаний при наличии трения вполне аналогично произведенному здесь рассмотрению колебаний без трения. Мы остановимся здесь подробно на представляющем самостоятельный интерес случае периодической вынуждающей силы.

Прибавив в правой части уравнения (25.1) внешнюю силу ƒcost и разделив на m, получим уравнение движения в виде

 + 2λx cos t.                                     (26.1)

Подробнее: Вынужденные колебания при наличии трения

Параметрический резонанс

Существуют такие незамкнутые колебательные системы, в которых внешнее воздействие сводится к изменению со временем ее параметров.

Параметрами одномерной системы являются коэффициенты m и k в функции Лагранжа (21.3); если они зависят от времени, то уравнение движения гласит:

Подробнее: Параметрический резонанс

Ангармонические колебания

Вся изложенная выше теория малых колебаний основана на разложении потенциальной и кинетической энергий системы по координатам и скоростям с оставлением лишь членов второго порядка; при этом уравнения движения линейны, в связи с чем в этом приближении говорят о линейных колебаниях. Хотя такое разложение вполне законно при условии достаточной малости амплитуд колебаний, однако учет следующих приближений (так называемой ангармоничности или нелинейности колебаний) приводит к появлению некоторых хотя и слабых, но качественно новых особенностей движения.

Подробнее: Ангармонические колебания

Резонанс в нелинейных колебаниях

Учет ангармонических членов при вынужденных колебаниях системы приводит к появлению существенно новых особенностей в резонансных явлениях.

Подробнее: Резонанс в нелинейных колебаниях

Движение в быстро осциллирующем поле

Рассмотрим движение частицы, находящейся одновременно под действием постоянного поля U и силы

ƒ = ƒ1 cos ωt + ƒ2 sin ωt,                                                   (30.1)

меняющейся со временем с большой частотой ω (ƒ1, ƒ2 — функции только координат). Под «большой» мы понимаем при этом частоту, удовлетворяющую условию ω>> 1/T, где T — порядок величины периода движения, которое частица совершала бы в одном поле U. По своей величине сила ƒ не предполагается слабой по сравнению с силами, действующими в поле U. Мы будем, однако, предполагать малым вызываемое этой силой колебательное смещение частицы (обозначенное ниже через ξ).

Подробнее: Движение в быстро осциллирующем поле