20 | 11 | 2017

Условно-периодическое движение

Для многомерной системы с переменным параметром λ(t) уравнения движения в канонических переменных дают для скорости изменения каждой из переменных действия Ii выражение, аналогичное (50.10):

i = −  ,                                             (52.15)

где по-прежнему Λ=(∂S0/∂λ)I. Усреднение этого равенства надо производить по промежутку времени, большому по сравнению с основными периодами системы, но малому по сравнению со временем изменения параметра λ(t). При этом  снова выносится из-под знака усреднения, а усреднение производных ∂Λ/∂ωi производится так, как если бы движение происходило при постоянном λ и потому было условно периодическим. Тогда Λ будет однозначной периодической функцией угловых переменных ωi и средние значения ее производных ∂Λ/∂ωi обращаются в нуль.

В заключение сделаем некоторые замечания по поводу свойств финитного движения замкнутых систем со многими (s) степенями свободы в наиболее общем случае, не предполагающем разделимости переменных в соответствующем уравнении Гамильтона-Якоби.

Основным свойством систем с разделяющимися переменными является однозначность интегралов движения Ii, число которых равно числу степеней свободы. В общем же случае систем с неразделяющимися переменными набор однозначных интегралов движения ограничивается теми, постоянство которых есть выражение свойств однородности и изотропии пространства и времени, т.е. законами сохранения энергии, импульса и момента.

Фазовая траектория системы проходит по тем областям фазового пространства, которые определяются заданными постоянными значениями однозначных интегралов движения. Для системы с разделяющимися переменными с ее s однозначными интегралами этими условиями определяется s-мерное многообразие (гиперповерхность) в фазовом пространстве. В течение достаточно долгого времени траектория системы покроет эту гиперповерхность сколь угодно плотно.

У системы же с неразделяющимися переменными, с ее меньшим (при том же s) числом однозначных интегралов фазовая траектория заполняет собой в фазовом пространстве (полностью или частично) области (многообразия) большого числа измерений.

Наконец, укажем, что если гамильтонова функция системы отличается от функции, допускающей разделение переменных, лишь малыми членами, то и свойства движения близки к свойствам условно-периодических движений, причем степень этой близости гораздо выше, чем степень малости дополнительных членов в функции Гамильтона.