20 | 11 | 2017

Условно-периодическое движение

Каждый из членов этой суммы есть периодическая функция времени с частотой

l1ω1 + ... +lsωs ,                                                         (52.10)

представляющей собой сумму целых кратных от основных частот

ωi = .                                                                    (52.11)

Но поскольку все частоты (52.10) не являются, вообще говоря, целыми кратными (или рациональными частями) какой-либо одной из них, то вся сумма в целом не является строго периодической функцией. Это относится, в частности, и к самим координатам q и импульсам p системы.

Таким образом, движение системы не является в общем случае строго периодическим ни в целом, ни по какой-либо из координат. Это значит, что если система прошла через какое-либо состояние, то она не пройдет через него повторно ни через какое конечное время. Можно, однако, утверждать, что по истечении достаточно большого промежутка времени она пройдет сколь угодно близко от этого состояния. Это свойство имеют в виду, называя такое движение условно-периодическим.

В различных частных случаях две (или более) из основных частот ωi могут оказаться соизмеримыми (при произвольных значениях величин Ii). В таких случаях говорят о наличии вырождения, а если все s частот соизмеримы, то движение системы называют полностью вырожденным. В последнем случае, очевидно, движение строго периодично и тем самым траектории всех частиц замкнуты.

Наличие вырождения приводит, прежде всего, к уменьшению числа независимых величин (Ii), от которых зависит энергия системы. Пусть две частоты ω1 и ω2 связаны соотношением

n1  = n2 ,                                              (52.12)

где n1 и n2 — целые числа. Отсюда следует, что величины I1 и I2 входят в энергию лишь в виде суммы n1I1+n2I2.

Весьма важной особенностью вырожденных движений является увеличение числа однозначных интегралов движения по сравнению с их числом в общем случае невырожденной системы (с тем же числом степеней свободы). В последнем случае из полного числа (2s−1) всех интегралов движения однозначными являются всего s функций состояния системы; их полный набор составляют, например, 5 величин Ii. Остальные s−1 интегралов можно представить в виде разностей

ωi  − ωk .                                                (52.1З)

Постоянство этих величин непосредственно следует из формулы (52.7), но ввиду неоднозначности угловых переменных они не являются однозначными функциями состояния системы.

При наличии же вырождения положение меняется. Так, ввиду связи (52.12) интеграл

ω1n2 − ω2n1                                                   (52.14)

хотя и является неоднозначным, но его неоднозначность сводится к прибавлению любого целого кратного 2. Поэтому достаточно взять тригонометрическую функцию этой величины, для того чтобы получить новый однозначный интеграл движения.

Примером вырожденного движения является движение в поле U=−/r (см. задачу к этому параграфу). Именно это обстоятельство приводит к появлению нового, специфического однозначного интеграла движения (15.17), помимо двух (рассматриваем движение сразу как плоское) обычных однозначных интегралов, — момента M и энергии E, — свойственных движению в любом центральном поле.

Отметим также, что появление дополнительных однозначных интегралов приводит в свою очередь еще к одному свойству вырожденных движений — они допускают полное разделение переменных при различных, а не при одном определенном выборе координат. Действительно, величины Ii в координатах, осуществляющих разделение переменных, являются однозначными интегралами движения. Но при наличии вырождения число однозначных интегралов превышает s, и потому становится неоднозначным выбор тех из них, которые мы хотим получить в качестве величин Ii.

В качестве примера снова упомянем кеплерово движение, допускающее разделение переменных как в сферических, так и в параболических координатах.

В предыдущей статье было показано, что при одномерном финитном движении переменная действия является адиабатическим инвариантом. Это утверждение остается в силе и для систем со многими степенями свободы. Оно доказывается в общем случае прямым обобщением способа.