18 | 11 | 2017

Условно-периодическое движение

Рассмотрим замкнутую систему со многими степенями свободы, совершающую финитное (по всем координатам) движение. Предположим при этом, что задача допускает полное разделение переменных в методе Гамильтона-Якоби. Это значит, что при соответствующем выборе координат укороченное действие представляет собой сумму

S0 = Si(qi)                                                 (52.1)

функций, каждая из которых зависит только от одной из координат.

Поскольку обобщенные импульсы

pi,

то каждая из функций Si может быть представлена в виде

Sipi dqi .                                                      (52.2)

Эти функции неоднозначны. В силу финитности движения каждая из координат может пробегать значения лишь в определенном конечном интервале. При изменении qi в этом интервале «вперед» и «назад» действие получает приращение

ΔS0 = ΔSi = 2Ii ,                                                            (52.3)

где Ii есть интеграл

Iipi dqi ,                                                   (52.4)

взятый по указанному изменению qi .

Произведем теперь каноническое преобразование аналогично тому, как это было сделано в предыдущем параграфе для случая одной степени свободы. Новыми переменными будут «переменные действия» Ii и «угловые переменные»

ωi = ,                             (52.5)

где производящей функцией снова является действие, выраженное в функции координат и величин Ii; уравнения движения в этих переменных

i = 0,  i =

дают

Ii = const,                                                             (52.6)

ωi = t + const.                                             (52.7)

Мы найдем также аналогично (50.7), что полному изменению координаты qi («вперед» и «назад») отвечает изменение соответствующего ωi на 2:

Δωi = 2.                                                              (52.8)

Другими словами, величины ωi(q,I) являются неоднозначными функциями координат, которые при изменении последних с возвращением к первоначальным значениям могут изменяться на любое целое кратное от 2. Это свойство можно сформулировать также и как свойство функции ωi(p,q) (выраженной через координаты и импульсы) в фазовом пространстве системы. Поскольку сами величины Ii, если их выразить через p и q, являются однозначными функциями этих переменных, то, подставив Ii(p,q) в ωi(q,I), мы получим функцию ωi(p,q), которая при обходе по любой замкнутой кривой в фазовом пространстве может измениться на целое кратное от 2 (либо на нуль).

Отсюда следует, что всякая однозначная функция состояния системы F(p,q), будучи выражена через канонические переменные, является периодической функцией угловых переменных с периодом 2 по каждой из них. Ее можно поэтому разложить в кратный ряд Фурье вида

F... exp [i (l1ω1 + ... +lsωs)]

(l1,l2,...,ls — целые числа). Подставив же сюда угловые переменные как функции времени, найдем, что временная зависимость F определяется суммой вида

F... exp it l1 + ... + ls .         (52.9)