18 | 11 | 2017

Точность сохранения адиабатического инварианта

Пусть ω0 — ближайшая к вещественной оси особая точка, т.е. точка с наименьшей по величине (положительной) мнимой частью. Главный вклад в интеграл (51.5) возникает от окрестности этой точки, причем каждый из членов ряда (51.4) дает вклад, содержащий множитель ехр(−l Im ω0). Сохраняя опять-таки лишь член с наименьшим по абсолютной величине отрицательным показателем (т.е. член с l=1), найдем, что

ΔI  ехр (−Im ω0).                                            (51.6)

Пусть t0 — «момент времени» (комплексное число!), отвечающий особой точке ω0: ω(t0)=ω0. По порядку величины |t0| совпадает, вообще говоря, с характерным временем изменения параметров системы; обозначим это время через . Порядок же величины показателя степени в (51.6) будет

Im ω0 ~ ω ~ /T.                                           (51.7)

Поскольку, по предположению, >>T, то этот показатель велик. Таким образом, разность I+I убывает экспоненциально при уменьшении скорости изменения параметров системы.

Для определения ω0 в первом приближении по T⁄(т.е. с сохранением лишь члена порядка (T⁄)−1 в показателе) можно отбросить в уравнении (50.11) малый член, содержащий λ, т.е. писать

= ω(I,λ(t)),                                               (51.8)

причем аргумент I функции ω(I,λ) полагается постоянным, скажем, равным I. Тогда

ω0ω (I,λ(t)) dt                                         (51.9)

(в качестве нижнего предела можно взять любое вещественное значение t; интересующая нас мнимая часть ω0 от этого значения не зависит).

Интеграл же (51.5) с из (51.8) (и с одним членом ряда (51.4) в качестве ∂Λ/∂ω) принимает вид

ΔI = Reie .                                      (51.10)

Отсюда видно, что в качестве конкурирующих (при отборе ближайшей к вещественной оси) особых точек фигурируют особенности (полюсы, точки ветвления) функций (t) и 1/ω(t). Напомним в этой связи, что заключение об экспоненциальной малости ΔI связано с предположением, что указанные функции не имеют вещественных особых точек.