20 | 11 | 2017

Канонические переменные

Уравнения движения могут быть сформулированы в канонических переменных также и для незамкнутой системы с зависящим от времени параметром λ. Преобразование к этим переменным осуществляется по-прежнему формулами (50.2),(50.3) с производящей функцией S0, определяемой интегралом (50.1) и выраженной через переменную I, определяемую интегралом (49.7). Неопределенный интеграл (50.1) и определенный интеграл (49.7) вычисляются при этом так, как если бы параметр λ(t) имел заданное постоянное значение; другими словами, S0(q,I;λ(t)) — прежняя функция, вычисленная при постоянном λ, замененном затем заданной функцией λ(t).

Поскольку производящая функция оказывается теперь (вместе с параметром λ) явной функцией времени, то новая функция Гамильтона H' уже не будет совпадать со старой, т.е. с энергией E(I). Согласно общим формулам канонического преобразования (45.8) имеем

H' = E (I;λ) +  = E (I;λ) + Λ ,                                (50.8)

где введено обозначение

Λ = ,                                                        (50.9)

причем Λ должна быть выражена (после осуществления дифференцирования по λ) с помощью (50.3) через I и ω.

Уравнения Гамильтона принимают теперь вид

= −  = − ,                                      (50.10)

= = ω (I;λ) + .                              (50.11)

где ω=(∂E/∂I)λ — частота колебаний (снова вычисленная так, как если бы λ было постоянным).