20 | 11 | 2017

Адиабатические инварианты

Как уже было указано, интегрирования в этой формуле должны производиться по траектории движения при данном постоянном значении λ. Вдоль такой траектории функция Гамильтона сохраняет постоянное значение E, а импульс является определенной функцией переменной координаты q и двух постоянных независимых параметров E и λ. Понимая импульс именно как такую функцию p(q;E,λ) и дифференцируя равенство H(p,q;λ)=E по параметру λ, получим

+ = 0  или   = − .

Подставив это в верхний интеграл в (49.5) и написав в нижнем подынтегральную функцию в виде ∂p/∂E, имеем

= −     или   + dq = 0.

Это равенство можно окончательно переписать в виде

= 0,                                                 (49.6)

где I обозначает интеграл

I = p dq,                                              (49.7)

взятый по траектории движения при заданных E и λ. Этот результат показывает, что величина I остается в рассматриваемом приближении постоянной при изменении параметра λ, т.е. является адиабатическим инвариантом.

Величина I является функцией энергии системы (и параметра λ). Ее частная производная по энергии определяет период движения: согласно (49.4) имеем

2 dq = T,                                 (49.8)

или

= ω,                                                      (49.9)

где ω=2/T — частота колебаний системы.

Интегралу (49.7) может быть приписан наглядный геометрический смысл, если воспользоваться понятием о фазовой траектории системы. В данном случае (одна степень свободы) фазовое пространство сводится к двумерной системе координат p, q, и фазовая траектория системы, совершающей периодическое движение, представляет собой замкнутую кривую в этой плоскости. Интеграл (49.7), взятый вдоль этой кривой, представляет собой заключенную внутри нее площадь. Он может быть написан и как двумерный интеграл по площади:

I = dp dq.                                         (49.10)

В качестве примера определим адиабатический инвариант для одномерного осциллятора. Его функция Гамильтона

H = + ,                                 (49.11)

где ω — собственная частота осциллятора. Уравнение фазовой траектории дается законом сохранения энергии

H (p,q) = E.

Это есть эллипс с полуосями и  и его площадь (деленная на 2)

I = E/ω.                                                 (49.12)

Адиабатическая инвариантность этой величины означает, что при медленном изменении параметров осциллятора его энергия меняется пропорционально частоте.