20 | 10 | 2017

Адиабатические инварианты

Рассмотрим механическую систему, совершающую одномерное финитное движение и характеризующуюся некоторым параметром λ, определяющим свойства самой системы или внешнего поля, в котором она находится.

Предположим, что параметр λ под влиянием каких-либо внешних причин медленно (как говорят, адиабатически) меняется со временем. Под медленным подразумевается такое изменение, при котором λ мало меняется за время периода движения системы T:

T  << λ.                                             (49.1)

При постоянном λ система была бы замкнутой и совершала бы строго периодическое движение с постоянной энергией E и вполне определенным периодом T(E). При переменном параметре λ система не является замкнутой и ее энергия не сохраняется. Но в силу предположенной медленности изменения λ скорость  изменения энергии будет тоже малой. Если усреднить эту скорость по периоду T и тем самым сгладить «быстрые» колебания в ее величине, то получающееся таким образом значение  определит скорость систематического медленного изменения энергии системы; об этой скорости можно утверждать, что она будет пропорциональна скорости изменения параметра λ. Это значит, другими словами, что понимаемая в указанном смысле медленно меняющаяся величина E будет вести себя как некоторая функция от λ. Зависимость E от λ можно представить в виде постоянства некоторой комбинации из E и λ. Такую величину, остающуюся постоянной при движении системы с медленно меняющимися параметрами, называют адиабатическим инвариантом.

Пусть H(q,p;λ) — гамильтонова функция системы, зависящая от параметра λ. Согласно (40.5) скорость изменения энергии системы

.                                        (49.2)

Выражение в правой части этой формулы зависит не только от медленно меняющейся переменной λ, но и от быстро меняющихся переменных q и p. Для выделения интересующего нас систематического хода изменения энергии надо, согласно сказанному выше, усреднить равенство (49.2) по периоду движения. При этом ввиду медленности изменения λ (а с ним и ) можно вынести  за знак усреднения:

= ,                                               (49.3)

а в усредняемой функции ∂H/∂λ рассматривать как изменяющиеся величины лишь q и p, но не λ. Другими словами, усреднение производится по такому движению системы, какое имело бы место при заданном постоянном значении λ.

Запишем усреднение в явном виде как

dt.

Согласно уравнению Гамильтона =∂H/p имеем

dt.

С помощью этого равенства заменяем интегрирование по времени на интегрирование по координате, причем и период T записываем в виде

Tdt;                                              (49.4)

знаком  здесь обозначается интегрирование по полному изменению координаты («вперед» и «назад») за время периода.

Таким образом, формула (49.3) принимает вид

= .                                             (49.5)