18 | 11 | 2017

Разделение переменных

1. Сферические координаты. В этих координатах (r, θ, φ) функция Гамильтона

H = pr2 + + + U (r, θ, φ)

и разделение переменных возможно, если

U = α(r) +  ,

где α(r) b(θ), c(φ) — произвольные функции. Последний член в этом выражении вряд ли может представить физический интерес, и потому мы рассмотрим поле вида

U = α(r) + .                                             (48.8)

В этом случае уравнение Гамильтона-Якоби для функции S0

α(r)   + 2mb (θ) = E.

Учитывая цикличность координаты φ, ищем решение в виде

S0 = pφφ + S1(r) + S2(θ)

и для функций S1(r) и S2(θ) получаем уравнения

+ 2mb (θ) +  = β,

+ α(r) + = E.

Интегрируя их, получим окончательно:

S = −Et + pφφ +  dθ +  dr.   (48.9)

Произвольными постоянными здесь являются pφ, β, E; дифференцируя по ним и приравнивая результат дифференцирования новым постоянным, найдем общее решение уравнений движения.

2. Параболические координаты. Переход к параболическим координатам ξ, η, φ совершается от цилиндрических координат (которые в этом параграфе мы будем обозначать, как ρ, φ, z) по формулам

z = (ξ − η),  ρ = .                                  (48.10)

Координаты ξ, и η пробегают значения от нуля до ; поверхности постоянных ξ и η представляют собой, как легко убедиться, два семейства параболоидов вращения (с осью z в качестве оси симметрии). Связь (48.10) можно представить еще и в другой форме, введя радиус

r = (ξ − η).                             (48.11)

Тогда

ξ = r + z,  η = r − z.                                       (48.12)

Составим функцию Лагранжа материальной точки в координатах ξ, η, φ. Дифференцируя выражения (48.10) по времени и подставляя в

L = (2 + ρ22 + 2) − U (ρ,φ,z)

(функция Лагранжа в цилиндрических координатах), получим

L = (ξ + η)  ξη2 − U (ξ,η,φ).             (48.13)

Импульсы равны

pξ (ξ +η),   pη = (ξ + η),   pφ = mξη

и функция Гамильтона

H U (ξ,η,φ).                         (48.14)