20 | 11 | 2017

Разделение переменных

В ряде важных случаев нахождение полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби может быть достигнуто путем так называемого разделения переменных, сущность которого состоит в следующем.

Допустим, что какая-либо координата — обозначим ее через q1 — и соответствующая ей производная ∂S/∂q1 входят в уравнение Гамильтона-Якоби только в виде некоторой комбинации φ(q1,∂S/∂q1), не содержащей никаких других координат (или времени) и производных, т.е. уравнение имеет вид

Фqi, t, , , φq1, = 0,                   (48.1)

где qi обозначает совокупность всех координат за исключением q1.

Будем искать в этом случае решение в виде суммы

S = S' (qi, t) + S1(q1).                                         (48.2)

Подставив это выражение в уравнение (48.1), получим

Фqi, t, , , φq1, = 0,                   (48.3)

Предположим, что решение (48.2) найдено. Тогда после подстановки его в уравнение (48.3) последнее должно обратиться в тождество, справедливое, в частности, при любом значении координаты q1. Но при изменении q1 может меняться только функция φ; поэтому тождественность равенства (48.3) требует, чтобы и функция φ сама по себе была постоянной. Таким образом, уравнение (48.3) распадается на два уравнения:

φq1, = 1,                                                           (48.4)

Фqi, t, , , 1 = 0,                              (48.5)

где 1 — произвольная постоянная. Первое из них есть обыкновенное дифференциальное уравнение, из которого функция S1(q1) может быть определена простым интегрированием. После этого остается дифференциальное уравнение в частных производных (48.5), но уже с меньшим числом независимых переменных.

Если таким способом можно последовательно отделить все s координат и время, то нахождение полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби целиком сводится к квадратурам. Для консервативной системы речь фактически идет лишь о разделении s переменных (координат) в уравнении (47.6), и при полном разделении искомый интеграл уравнения имеет вид

S Sk (qk; 1,..., s) − E (1,..., s)t,                             (48.6)

где каждая из функций Sk зависит лишь от одной из координат, а энергия E как функция произвольных постоянных 1,...,s получается подстановкой S0=∑Sk в уравнение (47.6).

Частным случаем разделения является случай циклической переменной. Циклическая координата q1 вовсе не входит в явном виде в функцию Гамильтона, а потому и в уравнение Гамильтона-Якоби. Функция φ(q1,∂S/∂q1) сводится при этом просто к ∂S/∂q1, и из уравнения (48.4) имеем просто S1=1q1, так что

S = S' (qi, t) + 1q1.                                                 (48.7)

Постоянная 1 есть при этом не что иное, как постоянное значение импульса p1=∂S/∂q1, отвечающего циклической координате. Отметим, что отделение времени в виде члена −Et для консервативной системы тоже соответствует методу разделения переменных для «циклической переменной» t.

Таким образом, все рассматривавшиеся ранее случаи упрощения интегрирования уравнений движения, основанные на использовании циклических переменных, охватываются методом разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби. К ним добавляется еще ряд случаев, когда разделение переменных возможно, хотя координаты не являются циклическими. Все это приводит к тому, что метод Гамильтона-Якоби является наиболее могущественным методом нахождения общего интеграла уравнений движения.

Для разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби существен удачный выбор координат. Рассмотрим некоторые примеры разделения переменных в различных координатах, которые могут представить физический интерес в связи с задачами о движении материальной точки в различных внешних полях.