18 | 11 | 2017

Уравнение Гамильтона-Якоби

Ранее было введено понятие о действии как функции координат и времени. Было показано, что частная производная по времени от этой функции S(q,t) связана с функцией Гамильтона соотношением

+ H (q,p,t) = 0,

а ее частные производные по координатам совпадают с импульсами. Заменив в соответствии с этим импульсы р в функции Гамильтона производными дв/дд, мы получим уравнение

+ H q1,...,qs; ,..., ; t = 0,                              (47.1)

которому должна удовлетворять функция    Это уравнение в частных производных первого порядка; оно называется уравнением Гамильтона-Якоби.

Наряду с уравнениями Лагранжа и каноническими уравнениями уравнение Гамильтона-Якоби также является основой некоторого общего метода интегрирования уравнений движения.

Переходя к изложению этого метода, напомним предварительно, что всякое дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка имеет решение, зависящее от произвольной функции; такое решение называют общим интегралом уравнения. В механических применениях, однако, основную роль играет не общий интеграл уравнения Гамильтона-Якоби, а так называемый полный интеграл; так называется решение дифференциального уравнения в частных производных, содержащее столько независимых произвольных постоянных, сколько имеется независимых переменных.

В уравнении Гамильтона-Якоби независимыми переменными являются время и координаты. Поэтому для системы с s степенями свободы полной интеграл этого уравнения должен содержать s+1 произвольных постоянных. При этом, поскольку функция S входит в уравнение только через свои производные, то одна из произвольных постоянных содержится в полном интеграле аддитивным образом, т.е. полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби имеет вид

S = ƒ(t, q1,..., qs ; 1,..., s) + A,                            (47.2)

где 1,...,s и A — произвольные постоянные.

Хотя общий интеграл уравнения Гамильтона-Якоби нам не понадобится, но укажем, что он может быть найден, если известен полный интеграл. Для этого будем считать величину A произвольной функцией остальных постоянных:

S = ƒ(t, q1,..., qs ; 1,..., s) + A(1,..., s).

Заменив здесь величины i функциями координат и времени, которые находим из s условий

= 0,

получим общий интеграл, зависящий от вида произвольной функции A(1,..., s). Действительно, для полученной таким способом функции S имеем

=   = .

Но величины (∂S/∂qi) удовлетворяют уравнению Гамильтона-Якоби, поскольку функция S(t,q;) есть по предположению полный интеграл этого уравнения. Поэтому удовлетворяют ему и производные ∂S/∂qi.