18 | 11 | 2017

Теорема Лиувилля

Для геометрической интерпретации механических явлений часто пользуются понятием о так называемом фазовом пространстве как о пространстве 2s измерений, на координатных осях которого откладываются значения s обобщенных координат и s импульсов данной механической системы. Каждая точка этого пространства отвечает определенному состоянию системы. При движении системы изображающая ее фазовая точка описывает в фазовом пространстве соответствующую линию, называемую фазовой траекторией. Произведение дифференциалов

d Γ = dq1 ... dqs dp1 ... dps

можно рассматривать как «элемент объема» фазового пространства.

Рассмотрим теперь интеграл dΓ, взятый по некоторой области фазового пространства и изображающий собой ее объем. Покажем, что эта величина обладает свойством инвариантности по отношению к каноническим преобразованиям: если произвести каноническое преобразование от переменных p, q к переменным P, Q, то объемы соответствующих друг другу областей пространств p, q и P, Q одинаковы:

...dq1 ... dqs dp1 ... dps = ...dQ1 ... dQs dP1 ... dPs .      (46.1)

Как известно, преобразование переменных в кратном интеграле производится по формуле

...dQ1 ... dQs dP1 ... dPs = ...Ddq1 ... dqs dp1 ... dps ,

где

D =                                        (46.2)

есть так называемый якобиан преобразования. Поэтому доказательство теоремы (46.1) сводится к доказательству того, что якобиан всякого канонического преобразования равен единице:

D = 1.                                                                   (46.3)

Воспользуемся известным свойством якобианов, которое позволяет обращаться с ними в определенном смысле, как с дробями. «Разделив числитель и знаменатель» на ∂(q1,...qs, P1,...,Ps), получим

D = .          (46.4)

Согласно другому известному правилу якобиан, у которого в «числителе» и «знаменателе» фигурируют одинаковые величины, сводится к якобиану от меньшего числа переменных, причем при всех дифференцированиях в нем выпавшие одинаковые величины должны считаться постоянными. Поэтому

D.           (46.5)