20 | 11 | 2017

Канонические преобразования

Выражение, стоящее под знаком дифференциала в левой части равенства, выраженное через переменные q, P, и является новой производящей функцией. Обозначив ее через Ф(q, P, t), имеем

pi = Qi = H' = H + ;                             (45.8)

Аналогичным образом можно перейти к формулам канонических преобразований, выраженных через производящие функции, зависящие от переменных p и Q или p и P.

Отметим, что связь между новой и старой гамильтоновыми функциями всегда выражается одинаковым образом: разность H'−H дается частной производной по времени от производящей функции. В частности, если последняя не зависит от времени, то H'=H. Другими словами, в этом случае для получения новой функции Гамильтона достаточно подставить в H величины p, q, выраженные через новые переменные P, Q.

Широта канонических преобразований в значительной степени лишает в гамильтоновом методе понятие обобщенных координат и импульсов их первоначального смысла. Поскольку преобразования (45.2) связывают каждую из величин P, Q как с координатами q, так и с импульсами P, то переменные Q уже не имеют смысла чисто пространственных координат. Различие между обеими группами переменных становится в основном вопросом номенклатурным. Это обстоятельство весьма наглядно проявляется, например, в преобразовании Qi=pi, Pi=−qi, явно не меняющем канонический вид уравнений и сводящемся просто ко взаимному переименованию координат и импульсов.

Ввиду этой условности терминологии переменные p и q в гамильтоновом методе часто называют просто канонически сопряженными величинами.

Условие канонической сопряженности можно выразить с помощью скобок Пуассона. Для этого докажем предварительно общую теорему об инвариантности скобок Пуассона по отношению к каноническим преобразованиям.

Пусть {ƒg}p,q — скобка Пуассона величин ƒ и g, в которой дифференцирование производится по переменным p, q, а {ƒg}P,Q — скобка Пуассона тех же величин, дифференцируемых по каноническим переменным P, Q. Тогда

g}p,q = {ƒg}P,Q.                                                (45.9)

В справедливости этого соотношения можно убедиться прямым вычислением с использованием формул канонического преобразования. Можно, однако, обойтись и без вычислений с помощью следующего рассуждения.

Прежде всего замечаем, что в канонических преобразованиях (45.7) или (45.8) время играет роль параметра. Поэтому, если мы докажем теорему (45.9) для величин, не зависящих явно от времени, то она будет верна и в общем случае. Рассмотрим теперь чисто формальным образом величину g как гамильтонову функцию некоторой фиктивной системы. Тогда согласно формуле (42.1) {ƒg}p,q=−dƒ⁄dt. Но производная dƒ⁄dt есть величина, которая может зависеть лишь от свойств движения (нашей фиктивной системы) как такового, а не от того или иного выбора переменных. Поэтому и скобка Пуассона {ƒg} не может измениться при переходе от одних канонических переменных к другим.

Из формул (42.13) и теоремы (45.9) получим

{QiQk}p,q = 0,  {PiPk}p,q = 0,  {PiQk}p,q = δik .                   (45.10)

Это — записанные с помощью скобок Пуассона условия, которым должны удовлетворять новые переменные, для того чтобы преобразование p, q → P, Q было каноническим.

Интересно отметить, что изменение величин p, q при самом движении можно рассматривать как канонические преобразования. Смысл этого утверждения состоит в следующем. Пусть qt, pt — значения канонических переменных в момент времени t, а qt+, pt+ — их значения в другой момент t+. Последние являются некоторыми функциями от первых (и от величины интервала  как от параметра):

qt+ = q (qt, pt, t, ),  pt+ = p (qt, pt, t, ).

Если рассматривать эти формулы как преобразование от переменных qt, pt к переменным qt+, pt+, то это преобразование будет каноническим. Это очевидно из выражения

dS = (pt+ dqt+ − pt dqt) − (Ht+ − Ht)dt

для дифференциала действия S(qt+,qt,t) взятого вдоль истинной траектории, проходящей через точки qt и qt+ в заданные моменты времени t и t+ (ср. (43.7)). Сравнение этой формулы с (45.6) показывает, что −S есть производящая функция преобразования.