18 | 11 | 2017

Канонические преобразования

Выбор обобщенных координат q не ограничен никакими условиями — ими могут быть любые s величин, однозначно определяющие положение системы в пространстве. Формальный вид уравнений Лагранжа (2.6) не зависит от этого выбора, и в этом смысле можно сказать, что уравнения Лагранжа инвариантны по отношению к преобразованию от координат q1, q2,... к любым другим независимым величинам Q1, Q2,... Новые координаты Q являются функциями старых координат q, причем допустим и такой их выбор, при котором эта связь содержит в явном виде также и время, т.е. речь идет о преобразованиях вида

Qi = Qi (q,t)                                                   (45.1)

(их называют иногда точечными преобразованиями).

Наряду с уравнениями Лагранжа при преобразовании (45.1) сохраняют, разумеется, свою форму (40.4) и уравнения Гамильтона. Последние, однако, допускают в действительности гораздо более широкий класс преобразований. Это обстоятельство естественным образом связано с тем, что в гамильтоновом методе импульсы p играют наряду с координатами q роль равноправных независимых переменных. Поэтому понятие преобразования может быть расширено так, чтобы включить в себя преобразование всех 2s независимых переменных p и q к новым переменным P и Q по формулам

Qi = Qi (p,q,t),  Pi = Pi (p,q,t).                                 (45.2)

Такое расширение класса допустимых преобразований является одним из существенных преимуществ гамильтонового метода механики.

Однако отнюдь не при произвольных преобразованиях вида (45.2) уравнения движения сохраняют свой канонический вид. Выведем теперь условия, которым должно удовлетворять преобразование, для того чтобы уравнения движения в новых переменных P, Q имели вид

i = ,  i =                                                    (45.3)

с некоторой новой функцией Гамильтона H' (P,Q). Среди таких преобразований особенно важны так называемые канонические.

К формулам для канонических преобразований можно прийти следующим путем. Ранее было показано, что уравнения Гамильтона могут быть получены из принципа наименьшего действия, представленного в форме

δ pi dqi − H dt = 0                                                      (45.4)

(причем варьируются независимо все координаты и импульсы). Для того чтобы новые переменные P и Q тоже удовлетворяли уравнениям Гамильтона, для них тоже должен быть справедлив принцип наименьшего действия

δ Pi dQi − H' dt = 0.                                             (45.5)

Но два принципа (45.4) и (45.5) эквивалентны друг другу только при условии, что их подынтегральные выражения отличаются лишь на полный дифференциал произвольной функции F координат, импульсов и времени; тогда разность между обоими интегралами будет несущественной при варьировании постоянной (разность значений F на пределах интегрирования). Таким образом, положим

pi dqi − H dt = Pi dQi − H' dt + dF.

Преобразования, удовлетворяющие такому требованию, и называют каноническими. Всякое каноническое преобразование характеризуется своей функцией F, которую называют производящей функцией преобразования.

Переписав полученное соотношение в виде

dFpi dqi − Pi dQi + (H'H)dt,                         (45.6)

мы видим, что

pi = Pi = − H' = H;                           (45.7)

при этом предполагается, что производящая функция задана как функция старых и новых координат (и времени): F=F(q, Q, t). При заданной функции F формулы (45.7) устанавливают связь между старыми (p, q) и новыми (P, Q) переменными, а также дают выражение для новой гамильтоновой функции.

Может оказаться удобным выражать производящую функцию не через переменные q и Q, а через старые координаты q и новые импульсы P. Для вывода формул канонических преобразований в этом случае надо произвести в соотношении (45.6) соответствующее преобразование Лежандра. Именно, переписываем его в виде

d (F + Pi Qi) = pi dqi + Qi dPi + (H'H)dt.