18 | 11 | 2017

Принцип Мопертюи

Из последнего равенства имеем

dt =                                                     (44.8)

и, подставляя это выражение в

pi dqi = αik dqi ,

найдем укороченное действие в виде

S0.                              (44.9)

В частности, для одной материальной точки кинетическая энергия

T ,

где m — масса частицы, а dl — элемент длины траектории, и вариационный принцип для определения формы траектории

δ dl = 0,                                            (44.10)

где интеграл берется между двумя заданными точками пространства. В таком виде он был представлен Якоби.

При свободном движении частицы U=0, и (44.10) дает тривиальный результат

δdl = 0,

т.е. частица движется по кратчайшему пути — по прямой.

Вернемся снова к выражению для действия (44.3) и произведем на этот раз его варьирование также и по параметру E:

δS = δE − (tt0E − E δt.

Подставив это в (44.2), находим

= tt0.                                                        (44.11)

Для укороченного действия в форме (44.9) это равенство приводит к соотношению

= tt0,                                      (44.12)

которое представляет собой не что иное, как интеграл уравнения (44.8). Вместе с уравнением траектории оно полностью определяет движение.