24 | 09 | 2017

Принцип Мопертюи

Принципом наименьшего действия движение механической системы определяется полностью: путем решения следующих из этого принципа уравнений движения можно найти как форму траектории, так и зависимость положения на траектории от времени.

Если ограничиться более узким вопросом об определении лишь самой траектории (оставляя в стороне временную часть задачи), то оказывается возможным установить для этой цели упрощенную форму принципа наименьшего действия.

Предположим, что функция Лагранжа, а с нею и функция Гамильтона не содержат времени явно, так что энергия системы сохраняется:

H (p,q) = Е = const.

Согласно принципу наименьшего действия вариация действия для заданных начальных и конечных значений координат и моментов времени (скажем, t0 и t) равна нулю. Если же допускать варьирование конечного момента времени t при фиксированных по-прежнему начальных и конечных координатах, то имеем (ср. (43.7)):

δS = −H δt.                                                            (44.1)

Будем теперь сравнивать не все виртуальные движения системы, а лишь те, которые удовлетворяют закону сохранения энергии. Для таких траекторий мы можем заменить H в (44.1) постоянной E, что дает

δS + E δt = 0.                                                        (44.2)

Написав действие в виде (43.8) и снова заменяя H на E, имеем

S = pi dqi − E (tt0).                                     (44.3)

Первый член в этом выражении

S0pi dqi                                                     (44.4)

иногда называют укороченным действием. Подставив (44.3) в (44.2), найдем

δS0 = 0.                                                                (44.5)

Таким образом, укороченное действие имеет минимум по отношению ко всем траекториям, удовлетворяющим закону сохранения энергии и проходящим через конечную точку в произвольный момент времени. Для того чтобы пользоваться таким вариационным принципом, необходимо предварительно выразить импульсы, а с ними и все подынтегральное выражение в (44.4) через координаты q и их дифференциалы dq. Для этого надо воспользоваться равенствами

pi = L q,                                                 (44.6)

представляющими собой определение импульсов, и уравнением закона сохранения энергии

E q = E.                                                         (44.7)

Выразив из последнего уравнения дифференциал dt через координаты q и их дифференциалы dq и подставив в формулы (44.6), мы выразим импульсы через q и dq, причем энергия E будет играть роль параметра. Получающийся таким образом вариационный принцип определяет траекторию системы; этот принцип называют обычно принципом Мопертюи (хотя его точная формулировка была дана Эйлером и Лагранжем).

Произведем указанные действия в явном виде для обычной формы функции Лагранжа (5.5) как разности кинетической и потенциальной энергий:

L αik (q)ikU (q).

При этом импульсы

pi = = αik (q)k ,

а энергия

E αik (q)ik + U (q).